Question

Dos traslaciones que hay que efectuarle a la gráfica de la función h(x) = x2 para obtener la gráfica de h(x) = x2 - 4x + 5 son:


A.
cuatro unidades a la izquierda y cinco unidades hacia arriba.

B.
cuatro unidades a la derecha y cinco unidades hacia arriba.

C.
dos unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo.

D.
dos unidades hacia la derecha y una hacia arriba.

Answer 1

La gráfica se desplaza dos unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba

Siendo la opción correcta la D

Solución

Se pide hallar las traslaciones que hay que efectuarle a la gráfica de la función:

$\bold{h(x) =x^{2} }$

Para obtener la gráfica de la función:

$\bold{h(x) =x^{2}-4x+5 }$

Por lo tanto la transformación pedida es de:

$\large\boxed{\bold { h(x) = x^{2} \to h(x) =x^{2} -4x +5 }}$

Donde

$\boxed{\bold { h(x) =x^{2} -4x +5 }}$

Responde a una función de la forma

$\large\boxed{ \bold { ax^2+bx+c}}$

$\large\textsf {Donde a = 1, b = -4 y c = 5 }$

La cual se puede reescribir en la forma canónica o de vértice de una parábola

La ecuación de una parábola con vértice (h ,k) está dada por:

$\large\boxed {\bold{ y = (x-h)^{2} + k}}$

Donde hallaremos el vértice de la transformación para reemplazar luego los valores de (h, k) en la forma canónica o de vértice

Por tanto hallamos el vértice de

$\large\boxed{\bold { h(x) =x^{2} -4x +5 }}$

El valor mínimo de una función cuadrática cóncava hacia arriba ocurre en su vértice y está dado por:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} \ \ \ \ \ \to f \left( - \frac{b}{2a}\right) }}$

Hallaremos luego el valor de:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}$

Reemplazando los valores de a y b

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{-4}{2 \ . \ 1 } }}$

$\boxed{ \bold{ x = \frac{4}{2 } }}$                    

$\large\boxed{ \bold{ x = 2 }}$

Sustituimos la variable  x  con  2 en la expresión:

$\large\boxed{\bold { h(x) =x^{2} -4x +5 }}$

$\boxed{\bold { h(2) =(2)^{2} -4 \ . \ 2 +5 }}$

$\boxed{\bold { h(2) =4 -8 +5 }}$

$\boxed{\bold { h(2) =5+4 -8 }}$

$\boxed{\bold { h(2) =9 -8 }}$

$\boxed{\bold { h(2) =1 }}$

Pudiendo afirmar que el vértice de la parábola de la transformación se da en el par ordenado:

$\large\boxed{ \bold{V(h, k ) = V (2 , 1 )}}$

Reemplazamos los valores del vértice en la forma

$\large\boxed {\bold{ y = (x-h)^{2} + k}}$

Obteniendo

$\large\boxed {\bold{ y = (x-2)^{2} + 1}}$

Por lo tanto comparamos ambas funciones

Traslación horizontal

El desplazamiento horizontal depende del valor de h

El desplazamiento horizontal se expresa como:

$\large\boxed{\bold { h(x) = h(x-h) }}$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\large\boxed{\bold { h(x) = h(x-2) }}$

Por lo tanto la gráfica se desplaza hacia la derecha dos unidades

Traslación vertical

El desplazamiento vertical depende del valor de k

El desplazamiento vertical se expresa como:

$\large\boxed{\bold { h(x) = h(x) +k }}$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\large\boxed{\bold { h(x) = h(x) +1 }}$

Por lo tanto la gráfica se desplaza hacia arriba una unidad

Se adjunta gráfico