Question

AYUDA POR FAVOR, no puedo reprobar el ciclo:(
- Desde un avión que vuela a 890 m de altura con
una rapidez horizontal de 90 m/s se desea lanzar una
bolsa de víveres a unos náufragos en una isla
desierta. Sabiendo que son despreciables los efectos
del viento, determinar: (a) la distancia horizontal a la
que hay que soltar la bolsa para que caiga en la isla.
(b) La rapidez con que caen los víveres al suelo.

Answer 1

a) El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 1200.75 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal a la que se debe soltar la bolsa para que caiga en la isla

b) La rapidez con la que caen los víveres al suelo es de 160.94 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

Primero calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la bolsa de víveres

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzado $\bold {H= 890 \ m }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 890 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 1780 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{178 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 13.3417 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del paquete es de 13.3417 segundos

a) Determinamos la distancia horizontal a la que se debe soltar la bolsa para que caiga en la isla

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =90 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 13.3417\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 1200.75 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ es de 1200.75 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal a la que se debe soltar la bolsa para que caiga en la isla

b) Hallamos la rapidez con la que caen los víveres al suelo

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de  13.3417 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =90 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 13.3417 \not s }}$

$\boxed {\bold { V_{y} =-133.417 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-133.42\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad o rapidez para el tiempo de vuelo (que es el instante de tiempo en que la bolsa de víveres llega al suelo) se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{T} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(90 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-133.42 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{8100 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +17800.8964 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{25900.8964 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 160.9375 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 160.94 \ \frac{m}{s} }}$

La rapidez con la que caen los víveres al suelo es de 160.94 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento