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Ejercicios resueltos de la media aritmética
1Considere los siguientes datos: \displaystyle 3,8,4,10,6,2 y calcule los siguientes incisos:
a) Calcular su media.
\displaystyle \bar{x}=\frac{3+8+4+10+6+2}{6}=\frac{33}{6}=\frac{11}{2}= 5.5
b) Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por \displaystyle 3 . ¿Cuál será la nueva media?.
\displaystyle \bar{x}=\frac{3(3)+3(8)+3(4)+3(10)+3(6)+3(2)}{6}
\displaystyle \bar{x}=\frac{3(3+8+4+10+6+2)}{6}=\frac{3(33)}{6}
\displaystyle\bar{x}=\frac{3(11)}{2}=3(5.5)=16.5
observamos que si todos los valores de la variable se multiplican por \displaystyle 3 la media aritmética queda multiplicada por \displaystyle 3 .
Entonces, es posible representar la propiedad que acabamos de ver en la siguiente fórmula
propiedad media con \displaystyle a una constante
2A un conjunto de \displaystyle 5 números cuya media es \displaystyle 7.31 se le añaden los números\displaystyle 4.47 y \displaystyle 10.15 . ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?
Sabemos de inicio que:
\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=7.31
ahora bien, calculemos la media del conjunto de siete números y desarrollemos de la siguiente manera
significa que la media de los siete números se pudo calcular conociendo a la media de los cinco primeros
3Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi 61 64 67 70 7
fi 5 18 42 27 8
La tabla indica a la variable \displaystyle x_i y al número de veces que se repite en el conjunto de datos \displaystyle f_i , y por esa razón debemos completar la tabla con el producto de la variable por su frecuencia absoluta \displaystyle x_i;f_i con la finalidad de tener la suma de todos los valores \displaystyle x_i que se repiten \displaystyle f_i veces, y así poder sumar finalmente a todos ellos y dividirlos entre la cantidad de datos que se generó, observe la fórmula
\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots +x_nf_n}{f_1+f_2+\cdots +f_n}
aquí el desarrollo numérico
xi fi xi · fi
61 5 305
64 18 1152
67 42 2814
71 27 1890
73 8 584
100 6745
entonces sólo basta realizar la división
\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots +x_5f_5}{f_1+f_2+\cdots +f_5}=\frac{6745}{100}=67.45
llegando al resultado deseado.
4Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2
primero que todo, observemos que ahora los datos no vienen representados de la misma manera que antes, tenemos intervalos de valores. En este caso lo que se realiza es calcular algo llamado marca de clase \displaystyle (MC) , consiste en sacar la media entre los dos valores que definen el intervalo, por ejemplo:
\displaystyle x_1=MC_1=\frac{10+15}{2}=12.5
y así sucesivamente con los demás intervalos.
Una vez hecho el cálculo, completamos la tabla con el producto de la variable por su frecuencia absoluta \displaystyle x_if_i para calcular la media
xi fi xi · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5
[15, 20) 17.5 5 87.5
[20, 25) 22.5 7 157.5
[25, 30) 27.5 4 110
[30, 35) 32.5 2 65
21 457.5
Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta \displaystyle x_if_i que es \displaystyle 457.5 y la dividimos entre el total de datos \displaystyle N que es \displaystyle 21 .
\displaystyle \bar{x}=\frac{457.5}{21}= 21.785714285714285
5Calcular la media de la distribución estadística:
fi
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, ∞) 6
Comenzamos calculando la \displaystyle MC
xi fi
[0, 5) 2.5 3
[5, 10) 7.5 5
[10, 15) 12.5 7
[15, 20) 17.5 8
[20, 25) 22.5 2
[25, ∞) --- 6
31
Y aquí observamos que NO se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
6Los resultados al lanzar un dado \displaystyle 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:
1 2 3 4 5 6
fi a 32 35 33 b 35
Determinar \displaystyle a y \displaystyle b sabiendo que la puntuación media es \displaystyle 3.6 .
xi fi xi · fi
1 a a
2 32 64
3 35 125
4 33 132
5 b 5b
6 35 210
135 + a + b 511 + a + 5b
Primero sumamos a la cantidad de datos y la igualamos con el total de datos que se sabe existen
\displaystyle 135+a+b=200
significa que
\displaystyle a+b=65
que la podemos considerar como nuestra primer ecuación.
Ahora calculemos a la media de la distribución y la igualamos con el valor que nos indican
\displaystyle \bar{x}=\frac{511+a+5b}{200}=3.6
donde la podemos escribir de la siguiente forma
\displaystyle a+5b=209
llegando así al siguiente sistema de ecuaciones
\displaystyle \left\{\begin{matrix} a+b & = & 65 \\ a+5b & = & 209 \end{matrix}\right.
que podemos resolver por el método de reducción
\displaystyle \left\{\begin{matrix} -a-b & = & -65 \\ a+5b & = & 209 \end{matrix}\right. \Rightarrow 4b=144 \Rightarrow b=36
y entonces
\displaystyle a=65-b=65-36=29
concluyendo que
\displaystyle a 29 y \displaystyle b=36