b) En el siguiente triángulo se dan las longitudes de los lados. Verificar que su perímetro es igual a 3 metros.
Respuestas
(13) Dos ángulos de un triángulo miden 40 ̊y 30 ̊respectivamente. ¿Cuánto mide el tercer ángulo ycada uno de los ángulos exteriores? Según el Teorema 18 (pág. 58), la suma de los tres ángulosinteriores de un triángulo vale dos ángulos rectos, es decir, si A, B y Cson los ángulos deltriángulo, entonces Por hipótesis,Como 110 ̊> R, el tercer ángulo Ces obtuso y se trata de un triángulo obtusángulo. Laconstrucción del triángulo ABCse muestra a continuación. Geometría Plana y Trigonometría(Baldor) Dr. G. UrcidSeptiembre – Diciembre 2008 INAOE 5/6Triángulos y generalidadesCapítulo 5. Ejercicios Resueltos (pp. 62 – 63)40 y 30 , de donde 2() 18070110ABCRAB∠=°∠=°∠=−∠+∠=°−°=°2.ABCR∠+∠+∠ =CBA40 ̊30 ̊CBA40 ̊30 ̊110 ̊Los ángulos exteriores son los que se forman por uno de los lados del triángulo y la prolon-gación de otro (ver Definición Art. 84, pág 58). Por ejemplo, el ángulo exterior Xse formacon el lado AC= by la prolongación A’Bdel lado AB= c. Como X, Y, Zson ángulos adyacentesa los respectivos ángulos interiores A, B, Cdel triángulo, se obtiene inmediatamente que:B’A’XYZbac218040140218030150218011070y se comprueba que3604 .XRAYRBZRCXYZR∠=−∠=°−°=°∠= −∠= °− °= °∠= −∠= °− °= °∠+∠+∠= °=
Geometría Plana y Trigonometría(Baldor) Dr. G. UrcidSeptiembre – Diciembre 2008 INAOE 5/7Triángulos y generalidadesCapítulo 5. Ejercicios Resueltos (pp. 62 – 63)(15) ¿Puede ser obtuso el ángulo en la base de un triángulo isósceles? Razonamos por el métodode reducción al absurdo. Así, supóngase que el ángulo A de la base en un triánguloisósceles es un ángulo obtuso, por tanto, Aes mayor a un ángulo recto. Por hipótesis,tratándose de un triángulo isósceles, el otro ángulo Cde la base es igual con A,de modo que (ver esquema abajo a la izquierda)desigualdad que contradice al Teorema 18 que establece que la suma de los ángulosinteriores de cualquier triángulo, en particular de un triángulo isósceles, es igual a unángulo llano. Consecuentemente, lo que se supuso como verdadero es falso y el ánguloen la base de un triángulo isósceles no puede ser obtuso (ni Ani C). No obstante, 2 de donde 22 ,ACRRRABCRBR∠+∠ > + =∠+∠+∠ > +∠ >(17) ¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo? Por construcción geométrica, todos losángulos de un triángulo equilátero ABCson iguales y como suman dos ángulos rectos(Teorema 18) se deduce que cada uno vale 60 ̊. Como un triángulo rectángulo tiene unángulo recto igual a 90 ̊(ver Definición, pág. 56), resulta claro que este ángulo no es iguala ningún ángulo de un triángulo equilátero (ver criterio de igualdad de triángulos enpág. 60). Por lo tanto, un triángulo rectángulo no puede ser equilátero.ACBACBel ángul0 opuesto a la base si puede ser obtuso ya quesi el ángulo B> R(mayor a un recto), entonces2y 2ACRBRRAC∠+∠ = −∠ <∠=∠ <triángulorectángulotriánguloequilátero90 ;90ABC∠= °∠+∠ = °60ABC∠=∠=∠ = °