Question

Una persona observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de inclinación de 80º; si ella se encuentra a 12 metros del pie del árbol puede calcular la altura del árbol al realizar la operación:
H=12sen 80⁰
H=12cos80⁰
H=12tan 80⁰
H=80sen 12⁰
H= 12
tan 80⁰​

Answer 1

Para hallar la altura h del árbol se debe emplear la función tangente.

Resultando en:

H = 12 · tan 80°

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Para esta clase de problemas tenemos que leer e interpretar correctamente el enunciado para determinar

a) Cuáles son los datos que tenemos

b) Que se nos pide hallar

c) Cómo lo resolvemos

Sobre los datos que tenemos

Sabemos que se tiene la medida de un lado y éste resulta ser la medida desde determinado punto hasta el pie del árbol  donde la persona observa la parte más alta del árbol con un ángulo de 80°

Sobre lo que se nos pide hallar

Se quiere encontrar la altura del árbol

Como lo resolvemos

Luego la altura del árbol a determinar resulta ser el cateto opuesto al  ángulo de 80° dado por enunciado.

Y el lado del cual se conoce la medida resulta ser el cateto adyacente al ángulo de 80°

Luego allí estamos en condiciones de determinar cual es la función o razón trigonométrica que se debe emplear

Entonces se conoce un ángulo α, el valor del cateto adyacente --que es la distancia hasta el pie del árbol- y piden hallar la altura del árbol - la cual resulta ser el cateto opuesto al ángulo dado-

Luego estudiando las razones trigonométricas

¿Cuál de ellas relaciona un ángulo dado con el cateto opuesto y el cateto adyacente?

La función tangente

La tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente al ángulo

$\boxed { \bold { tan(\alpha ) = \frac{ cateto\ opuesto}{ cateto\ adyacente } }}$

Concluyendo que para resolver el ejercicio propuesto se debe utilizar la función tangente del ángulo α

Donde despejando el cateto opuesto al ángulo para calcular la altura del árbol que es lo que se quiere determinar, resulta en:

$\boxed { \bold { altura\ del \ arbol \ (H)= distancia \ a \ pie \ arbol \ . \ tan(80^o) }}$

$\large\boxed { \bold { altura\ del \ arbol \ (H)= 12\ m \ . \ tan(80^o) }}$

Resolvemos el problema

$\boxed { \bold { tan(80^o) = \frac{ cateto\ opuesto}{ cateto\ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(80^o) = \frac{ altura \ del \ arbol }{ distancia\ a \ pie \ arbol }}}$

$\boxed { \bold { altura\ del \ arbol= distancia \ a \ pie \ arbol \ . \ tan(80^o) }}$

$\boxed { \bold { altura\ del \ arbol= 12\ metros \ . \ 0.984807753122 }}$

$\large\boxed { \bold { altura\ del \ arbol = 68.06 \ metros }}$

La altura del árbol es de 68.06 metros

Se agrega gráfico que representa la situación