Question

Sea f(x)=x+[x] definida sobre [0,2], donde [x] designa el mayor entero que es x. ¿es f integrable?​

Answer 1

Si es integrable y se sustenta mediante el concepto de...

Integralidad de una función

Se dice que una función es integrable si dicha función diferenciable en su dominio es decir, dicha función es continua en su dominio y además existe su derivada.

Veamos un ejemplo

Sea una función

                                $\mathrm{f(x)=x+[x]; \ \ \ \ \ \ \ x \in [0,2]}$

Sabemos que la función máximo entero es continua por tramos porque en  si recurrimos a su definición, el máximo entero en si es una función discontinua en su dominio.

Bien, como podrás observar la función aparentemente no es integrable  puesto que contamos con una función discontinua pero si conocemos el famoso dicho " DIVIDE Y VENCERAS" podrás notar que no, y efectivamente es integrable.

• ¿Cómo puedo dividir a la función?

         Bueno relativamente a la función vamos a dividirlo a través de su

         dominio ya que es lo que representa a una función

• Veamos como

                          $\left.\begin{array}{rcl} x+0 & x \ \ \ \im [0,1>\\ x+1 &\ \ \ \ x \ \in [1,2> \\ x+2 & x=2\end{array}\right\}\mathrm{=f(x)}$

• Ahora de lo anterior

       Podemos concluir que la función es integrable por trozo de la función

       es decir cuando dividimos el dominio de la función, la idea es

       adecuar las respuesta en integrales inmediatas

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Un cordial saludo.