Question

Dada la ecuación de la hipérbola: 8x2-6y2-16x+24y-16=0 . La utilidad de la empresa “RENACER”S.A., está dado por 40c2 en miles de dólares. Hallar dicha utilidad.

Answer 1

La utilidad de la empresa  "RENACER" S.A. es de  560  mil dólares.

Explicación paso a paso:

La relación de distancias en la hipérbola es:

c²  =  a²  +  b²

donde:

a    es la distancia del centro a los vértices sobre el eje real

b  es la distancia del centro a los vértices sobre el eje imaginario

c  es la distancia del centro a los focos de la hipérbola sobre el eje real

Para conocer    c    debemos expresar la hipérbola en ecuación canónica, en la cual están presentes los valores    a    b.

La hipérbola en estudio está expresada en ecuación general, para expresarla en ecuación canónica se aplica la técnica de completación de cuadrados:

8x²  -  16x  =  8(x²  -  2x)  =  8[(x  -  1)²  -  1]  =  8(x  -  1)²  -  8

-6y²  +  24y  =  -6(y²  -  4y)  =  -6[(y  -  2)²  -  4]  =  24  -  6[(y  -  2)²

Sustituyendo en la ecuación general

8(x  -  1)²  -  8  +  24  -  6[(y  -  2)²  -  64  =  0                ⇒

$\bold{\dfrac{(x~-~1)^2}{6}~-~\dfrac{(y~- ~2)^2}{8}~=~1}$

Esta es la ecuación canónica de una hipérbola de eje real horizontal con centro en el punto    (1, 2)     y valores    a²  =  6             b²  =  8

Entonces, podemos calcular      c²

c²  =  6  +  8  =  14

Finalmente, podemos calcular la utilidad:

Utilidad  =  40c²  =  40(14)  =  560

La utilidad de la empresa  "RENACER" S.A. es de  560  mil dólares.