Las edades de 7 personas están en progresión aritmética. La suma de todas sus edades es378. La mayor tiene 90 años. calcular las edades de las 6 primeras personas.
Respuestas
Respuesta: Las edades de las primeras seis personas son:
18 años , 30 años, 42 años, 54 años, 66 años y 78 años
Explicación paso a paso: Sabemos que la suma Sn de los n primeros términos de una progresión aritmética es:
Sn = (an + a1). n/2
Como a7 = 90 y S7 = 378 , entonces:
378 = (90 + a1) . 7 / 2
Por tanto, al multiplicar por 2 en ambos miembros, resulta:
378 . 2 = (90 + a1) . 7
756 = 90 . 7 + 7a1
756 = 630 + 7a1
756 - 630 = 7a1
126 = 7a1
126 / 7 = a1
a1 = 18
El término general de la progresión aritmética es:
an = a1 + d(n - 1), donde a1 es el primer término, d es la diferencia entre dos términos consecutivos y n es el número de orden de cualquier término. Por tanto, en nuestro caso:
90 = 18 + d (7 - 1) ⇒ 90 = 18 + 6d
⇒ 90 - 18 = 6d
⇒ 72 = 6d
⇒ 72 / 6 = d
⇒ d = 12
El término general de la progresión es :
an = 18 + 12(n-1)
El primer término (cuando n=1) es : 18 (edad de la primera persona)
El segundo término (cuando n=2) es : 30 (edad de la segunda persona)
El tercer término (cuando n=3) es : 42 (edad de la tercera persona)
El cuarto término (cuando n=4) es : 54 (edad de la cuarta persona)
El quinto término (cuando n=5) es : 66 (edad de la quinta persona)
El sexto término (cuando n=6) es : 78 (edad de la sexta persona)
18 años , 30 años, 42 años, 54 años, 66 años y 78 años