Question

1- Hay un famoso gol de tiro libre, convertido por José Luis Chilavert, arquero de Vélez Sarsfield, que resultó inatajable para Germán Burgos, arquero de River Plate, en el partido del 22 de marzo de 1.996. Se sabe que la trayectoria de la pelota lanzada por Chilavert puede ser representada por la siguiente función: () = −0,02 ଶ + 1,16, donde x representa la cantidad de metros en línea recta sobre el pasto y () la altura alcanzada por la pelota, medida en metros. a) ¿A cuántos metros del arco de Burgos estaba la pelota cuando pateó Chilavert? b) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota y a qué distancia del lugar de partida? c) ¿En qué momento la pelota tocó el suelo? d) Representen gráficamente la situación​

Answer 1

a) La pelota se encontraba a 58 metros del arco de Burgos cuando pateó Chilavert, siendo este su alcance máximo

b) La altura máxima y la distancia del lugar de partida de la pelota están dadas por el vértice de la parábola V(29, 16.82). Siendo la altura máxima que alcanza la pelota 16.82 metros, encontrándose en ese momento el balón a 29 metros del lugar de partida

c) El tiempo de vuelo de la pelota es de 1.06 segundos, tocando el piso para ese instante de tiempo

d) Se adjunta gráfico representativo de la situación

Solución

Sea la trayectoria de la pelota de fútbol pateada por Chilavert representada por la función

$\large\boxed{\bold { h= -0,02x^2+1.16x}}$

$\large\textsf{Donde las unidades son metros }$

Donde x representa la trayectoria de la pelota sobre el pasto, es decir su trayectoria horizontal

Y donde h es al altura alcanzada por la pelota

a) Determinamos a cuántos metros del arco de Burgos estaba la pelota cuando la pateó Chilavert

La recta y = 0 representa cuando la pelota se encuentra en el suelo. Para encontrar que tan lejos llega el balón, debemos encontrar el punto en el que y = 0. Es decir, el punto en x donde llega la pelota

$\large\boxed{\bold { h= -0,02x^2+1.16x}}$

$\boxed{\bold { y= -0,02x^2+1.16x}}$

$\large\textsf{Igualamos la expresi\'on a 0 }$

$\boxed{\bold { -0,02x^2+1.16x = 0}}$

$\large\textsf {Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = -0.02, b =1.16 y c = 0 en la f\'ormula }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -1.16 \pm \sqrt{ 1.16^2 - 4\ . (-0.02 \ . \ 0) } }{2 \ . \ -0.02} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -1.16 \pm \sqrt{ 1.3456 +. \ (0.08 \ . \ 0) } }{ \ -0.04} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -1.16 \pm \sqrt{ 1.3456 } }{ \ -0.04} }}$

$\boxed{ \bold{ x= 29 \pm 29 }}$

$\large\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{ x=58, 0 }}$

El valor máximo de x cuando y = 0 representa el alcance de la pelota, por tanto, tomamos el valor de x = 58 para su trayectoria horizontal. Donde consideramos que el valor para x = 0 es cuando la pelota aún no había sido pateada por Chilavert

$\large\boxed{ \bold{ x= 58 \ metros }}$

Concluyendo que  la pelota se encontraba a 58 metros del arco de Burgos cuando la pateó Chilavert.

Siendo esa distancia el alcance máximo del balón

b) Hallamos la altura máxima que alcanzó la pelota y a que distancia del lugar de partida

Sabemos que pelota describe una parábola de la forma:  

$\large\boxed{ \bold { ax^2+bx+c}}$

La cual abre hacia abajo porque a<0, por tanto su punto máximo será el vértice de la función.

Donde si hallamos las coordenadas x e y del vértice de la función, encontraremos la distancia pedida y la altura máxima

$\boxed{\bold { h(x)= -0.02x^2+1.16x}}$

El valor máximo de una función cuadrática cóncava hacia abajo ocurre en su vértice y está dado por:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} \ \ \ \ \ \to h \left( - \frac{b}{2a}\right) }}$

Determinando cuál es la altura máxima que alcanza el balón

$\boxed{ \bold {H_{max} (x) = ax^2+bx+c}}$  $\textsf{ocurre en}$  $\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}$

Hallaremos luego el valor de:

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}$

$\textsf{Reemplazando los valores de a y b }$

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{1.16}{2 (-0.02)} }}$

$\boxed{ \bold{ x = - \frac{1.16}{-0.04 } }}$

$\boxed{ \bold{ x = - (-29) }}$

$\large\boxed{ \bold{ x =29 \ metros }}$

Evaluamos

$\boxed{\bold { h(29) }}$

Sustituyendo la variable  x  con 29 en la expresión:  

$\boxed{\bold { h(x)= -0.02x^2+1.16x}}$

$\boxed{\bold { h(29)= -0.02(29)^2+1.16(29)}}$

$\boxed{\bold { h(29)= -0.02\ . \ 841+1.16\ . \ 29 }}$

$\boxed{\bold { h(29)= -16.82+33.64 }}$

$\large\boxed{\bold { h(29)= 16.82 \ metros }}$

Donde la altura máxima que alcanza la pelota se da en el par ordenado que representa el vértice de la parábola que es por donde pasa su eje de simetría y la distancia del lugar de partida por la coordenada en x del vértice

$\large\boxed{ \bold{V(x_{1} , y_{1}) = V( 29, 16.82)}}$

Alcanzando el balón su altura máxima en

$\large\boxed{ \bold{ y_{1} = 16.82 \ metros }}$

Y la distancia de la pelota desde el lugar de partida en:

$\large\boxed{ \bold{ x_{1} =29 \ metros }}$

Debido a lo extenso de la pregunta se agrega el inciso c)

en un archivo adjunto

bf4f54ef82253a659bc81c96629110e6.docx