1. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta
≡ + 2 = 0 y pasa por los puntos P(4,3) y Q(O,1).
2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,5) y B(4,6) y
cuyo centro está situado en la recta ≡ 2 + 3 − 8 = 0.
3. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y concéntrica con
≡ 2 + 2 + 2 + 10 + 17 = 0
4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(-3,-2), N(4,5) y
P(-2,5).
5. Calcular la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm. y es
concéntrica con ≡ 2 + 2 − 2 − 6 − 15 = 0.
6. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con
≡ 2 + 2 − 4 + 2 + 1 = 0 y que es tangente a la recta = 3 + 4 − 17 = 0.
7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,4) y B(0,2) y es tangente
al eje de ordenadas
8. Calcular la ecuación de la recta tangente a la circunferencia ≡ 2 + 2 − 2 =
0 que pasa por el punto P(1,1).
9. Hallar la ecuación general de la recta tangente a la circunferencia de centro
C(3,1) en el punto (-1,2).
10.Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia
≡ ( − 3)
2 + ( − 1)
2 = 8 en el punto A(1,-1).
Respuestas
Al resolver cada problema planteado se obtiene:
1. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta
R: x + 2y = 0 y pasa por los puntos P(4,3) y Q(O,1).
La ecuación de una circunferencia esta descrita:
(x - a)² + (y - b)² = r²
Evaluar los puntos que pertenecen a la circunferencia:
- (4 - a)² + (3 - b)² = r²
- (0 - a)² + (1 - b)² = r²
igualar;
(4 - a)² + (3 - b)² = (0 - a)² + (1 - b)²
16 -8a + a² + 9 - 6b + b² = a² + 1 - 2b + b²
-8a -6b + 2b + 16 +9 - 1 = 0
-8a -4b + 24 = 0
La ecuación se satisface: x + 2y = 0
a + 2b = 0 ⇒ a = -2b
-8a -4b + 24 = 0
-8(-2b) - 4b =- 24
16b - 4b = -24
12b = -24
b = -24/12 ⇒ b = -2
a = -2(-2)
a = 4
Sustituir;
(0 - 4)² + (1 + 2)² = r²
r = √(16+9)
r = 5
Ec: (x - 4)² + (y + 2)² = 25
2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,5) y B(4,6) y cuyo centro está situado en la recta R: 2x + 3y − 8 = 0.
La ecuación de una circunferencia esta descrita:
(x - a)² + (y - b)² = r²
Evaluar los puntos que pertenecen a la circunferencia:
- (5 - a)² + (5 - b)² = r²
- (4 - a)² + (6 - b)² = r²
igualar;
(5 - a)² + (5 - b)² = (4 - a)² + (6 - b)²
25 -10a + a² + 25 - 10b + b² = 16 - 8a + a² + 36 - 12b + b²
-10a + 8a -10b + 12b + 50 - 52 = 0
-2a + 2b -2 = 0
La ecuación se satisface: 2x + 3y − 8 = 0
2a + 3b - 8 = 0
-2a + 2b -2 = 0
5b -10 =0
5b = 10
b = 10/5 ⇒ b = 2
2a + 3(2) = 8
2a = 8 -6}
a = 2/2 ⇒ a = 1
Sustituir;
(5 - 1)² + (5 - 2)² = r²
r = √(25)
r = 5
Ec: (x - 1)² + (y - 2)² = 25
3. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 y concéntrica con
C: 2x² + 2y² + 2x + 10y + 17 = 0.
Multiplicar 1/2;
x² + y² + x + 5y + 17/2 = 0
Completar cuadrados
(a + b)² = a² + 2ab + b²
x² + x + 1/4 = (x+ 1/2)²
y² + 5y + 25/4 = (y+5/2)²
Sumar 1/2 y 5/2 a ambos lados;
x² + x + 1/4 + y² + 5y + 25/4 =- 17/2 + 1/4 + 25/4
(x+ 1/2)² + (y+5/2)² = -2
Centro (-1/2, -5/2)
Ec: (x + 1/2)² + (y + 5/2)² = 16
4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(-3,-2), N(4,5) y P(-2,5).
La ecuación de una circunferencia esta descrita:
x² + y² + cx + dy + e = 0
Evaluar los puntos para construir un sistema de ecuaciones;
M(-3,-2)
(-3)² + (-2)² + c(-3) + d(-2) + e = 0
-3c - 2d + e = - 13
N(4,5)
(4)² + (5)² + c(4) + d(5) + e = 0
4c + 5d + e = - 41
P(-2,5)
(-2)² + (5)² + c(-2) + d(5) + e = 0
-2c + 5d + e = -29
4c + 5d + e = - 41
+2c - 5d - e = 29
6c= -12
c = -12/6
c = -2
-3(-2) - 2d + e = - 13 ⇒ -2d + e = -19
4(-2) + 5d + e = - 41 ⇒ 5d + e = -33
e = -19 + 2d
5d -19 + 2d = -33
7d = -14
d = -14/7 ⇒ d = -2
e = -19 + 2(-2)
e = -23
Ecuación: x² + y² - 2x - 2y - 23 = 0
5. Calcular la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm. y es concéntrica con C: 2x² + 2y² − 2x − 6y − 15 = 0.
2x² + 2y² − 2x − 6y − 15 = 0
Multiplicar 1/2;
x² + y² − x − 3y − 15/2 = 0
Completar cuadrados;
x² - x + 1/4 + y² - 3y + 9/4 = 15/2 + 1/4 + 9/4
(x-1/2)² + (y-3/2)² = 10
El diámetro es el doble del radios;
d = 2r
r = 6/2 ⇒ r = 3 cm
Ec: (x-1/2)² + (y-3/2)² = 9
6. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con
C: 2x² + 2y² − 4x + 2y + 1 = 0 y que es tangente a la recta 3x + 4y − 17 = 0.
Multiplicar 1/2;
x² + y² − 2x + y + 1/2 = 0
Completar cuadrados;
x² - 2x + 1 + y² - y + 1/4 = -1/2 + 1 + 1/4
(x-1)² + (y+1/2)² = 3/4
Centro: (1, -1/2)
Aplicar distancia de un punto a una recta;
d = r = |Ax +By + C|/√(A² + B²)
r = |3(1) + 4(-1/2) − 17|/√(3² + 4²)
r = 16/5
Ecuación: (x-1)² + (y+1/2)² = 256/25
7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(2,4) y B(0,2) y es tangente al eje de ordenadas.
El centro de la circunferencia es la misma distancia de AC y BC;
C = √[(2-a)²+(4-b)²] = √[(0-a)²+(2-b)²]
(2-a)²+(4-b)² = (0-a)²+(2-b)²
4 - 4a + a² + 16 - 8b + b² = a² + 4 - 4b + b²
-4a -8b + 4b = -16
-4a - 4b = -16
Dividir entre -1/4;
a + b = 4
- a = 2
- b = 2
r = √[(0-2)²+(2-2)²]
r = 2
Ecuación: (x-2)² + (y-2)² = 4
8. Calcular la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
C: x² + y² − 2y = 0 que pasa por el punto P(1,1).
De forma gráfica se puede ver que la ecuación de la recta es: x =1
9. Hallar la ecuación general de la recta tangente a la circunferencia de centro C(3,1) en el punto (-1,2).
Ecuación de la recta es la recta perpendicular a la recta que pasa por el centro y el punto.
y - y = m(x-x)
m = (2-1)/(-1-3)
m = -1/4 ⊥ m = 4
y - 2 = 4(x + 1)
y = 4x + 4 + 2
y = 4x + 6
Ec. recta: 4x - y + 6 = 0
10. Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la circunferencia
C: (x − 3)² + ( y − 1)² = 8 en el punto A(1,-1).
Ecuación de la recta es la recta perpendicular a la recta que pasa por el centro y el punto.
y - y = m(x-x)
m = (-1-1)/(1-3)
m = 1 ⊥ m = -1
y + 1 = -1(x - 1)
y = -x + 1 -1
y = -x
Ecuación de la recta: x + y = 0
