Question

Un balón de fútbol que se patea a un ángulo de 46°, recorre una distancia horizontal de 30 m antes de chocar contra el suelo. Encontrar:

a) La velocidad inicial del balón.

b) El tiempo que permanece en el aire.

c) La altura máxima que alcanza

Answer 1

a) La velocidad inicial del lanzamiento del balón es de 17.15 metros por segundo (m/s)

b) El tiempo de vuelo del balón es de 2.52 segundos

c) La altura máxima que este alcanza es de 7.77 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Velocidad inicial del proyectil

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Despejamos para hallar la velocidad inicial }$

$\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ =( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta ) }}$

$\boxed {\bold {( V _{0})^{2}= \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta ) } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta )} } }}$

$\large \textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 30 \ m \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }{ sen (2 \ 46^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ sen (92^o )} } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{0.999390827019 } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294.17920602388178 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {V _{0}= 17.151653 \ \frac{m }{s } }}$

$\large\boxed {\bold {V _{0}= 17.15 \ \frac{m }{s } }}$

La velocidad inicial del lanzamiento del proyectil es de 17.15 metros por segundo (m/s)

b) Tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

En el inciso anterior hallamos la velocidad inicial del lanzamiento

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (17.15 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (46^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{34.3\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.719339800339 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{24.6733551516277 }{9.8 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2.517689 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2.52 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del balón es de 2.52 segundps

c) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Empleamos el valor de la velocidad inicial del lanzamiento hallada en el primer inciso

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(17.15 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (46^o) }{2 \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{254.1225\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ ( 0.719339800339 )^{2} }{ 19.6\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{294.1225\ \ . \ 0.51744974835175 }{ 19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{152.1936137517737589 }{19.6 } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 7.76498\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 7.77\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 7.77 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola