Question

1. Un microempresario fabrica tapabocas en materia antifluido, sus costos fijos mensuales son $2’500.000 y el costo de fabricación de cada tapabocas es de $1750, y los vende a $3000 la unidad. a. Exprese la utilidad (Ingreso menos costo) mensual en función de la cantidad de tapabocas vendidos, b. ¿Cuál es el número de tapabocas mínimo que debe vender en un mes para que no se presenten perdidas? 2. Se requiere construir un recipiente cilíndrico donde la altura sea el doble del radio de la base. a. Exprese el volumen del recipiente cilíndrico en función de la altura b. ¿Cuál es el volumen del recipiente cilíndrico si el radio de la base mide 2 metros?
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Answer 1

1.b.  El microempresario debe producir y vender 2.000 tapabocas, por lo menos, para no tener pérdidas.  2.b.  Si el radio de la base es de  2  metros el volumen del recipiente cilíndrico es de 16π  metros cúbicos o, aproximadamente, 50,27  metros cúbicos de capacidad.

Explicación:

1.  La función Utilidad (U) viene dada por la diferencia entre los ingresos totales (I)  y los costos totales (C).

Los ingresos (I) se calculan por el producto entre el precio unitario de venta y la cantidad de tapabocas vendidos.

Los costos (C) son la suma de los costos fijos  (Cf)  y los costos variables (Cv), los cuales se calculan por el producto entre el costo unitario de fabricación y la cantidad de tapabocas producidos.

a. Función utilidad

Sea        x      el número de tapabocas producidos y vendidos en un mes

Cv  =  1.750 x

C  =  Cf  +  Cv  =  2'500.000  +  1.750 x

I  =  3.000 x

U(x)  =  I  -  C  =  3.000 x  -  (2'500.000  +  1.750 x)

U(x)  =  1.250 x  -  2'500.000

b.  Para que no se presenten pérdidas los ingresos deben ser mayores o iguales que los costos; es decir, la utilidad debe ser un valor positivo o nulo.

La utilidad nula sería el mínimo nivel de trabajo del microempresario para no tener pérdidas; por tanto, igualamos la función utilidad a cero y despejamos el valor de  x  que hace esto posible:

1.250 x  -  2'500.000  =  0                ⇒                x  =  2.000

El microempresario debe producir y vender 2.000 tapabocas, por lo menos, para no tener pérdidas.

2.  El volumen  V  de un recipiente en forma de cilindro circular recto de radio de la base  r  y altura  h se calcula por la fórmula:

V  =  π r² h

a.  Dado que la altura es el doble del radio de la base, el volumen se puede expresar como una función solo de la altura del cilindro:

$\bold{V~=~\pi\cdot r^2\cdot h~=~\pi\cdot (\dfrac{h}{2})^2\cdot h\qquad\Rightarrow\qquad V~=~\dfrac{\pi\cdot h^3}{4}}$

b.  Para saber el valor del volumen cuando el radio de la base es  2  metros, se procede a calcular la altura y sustituir en la ecuación anterior:

h  =  2 r  =  2 (2)  =  4  m

$\bold{V~=~\dfrac{\pi\cdot (4)^3}{4}~=~16\pi~\approx~50,27~m^3}$

Si el radio de la base es de  2  metros el volumen del recipiente cilíndrico es de 16π  metros cúbicos o, aproximadamente, 50,27  metros cúbicos de capacidad.