Question

Calcula la longitud de la sombra que proyecta un árbol de 10 metros cuando el ángulo de elevación del sol es de 24° ​

Answer 1

La longitud de la sombra proyectada por el árbol es de aproximadamente 22.46 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del árbol junto con el suelo donde este se asienta forman un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el árbol cuando el ángulo de elevación al sol es de 24° y el lado AC (c) que es la longitud visual con el ángulo de elevación al sol mencionado

Donde se pide hallar:

La longitud de la sombra proyectada por el árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del árbol y de un ángulo de elevación al sol de 24°

• Altura del árbol = 10 metros

• Ángulo de elevación al sol = 24°

• Debemos hallar la longitud de la sombra que proyecta el árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado - que es la altura del árbol-, y conocemos un ángulo de elevación al sol de 24° y debemos hallar la longitud de la sombra proyectada por el árbol -la cual es el cateto adyacente del triángulo rectángulo determinaremos nuestra incógnita mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(24^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(24^o) = \frac{altura \ del\ arbol }{ longitud \ sombra\ del\ arbol } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ sombra\ del\ arbol = \frac{altura \ del\ arbol }{ tan(24^o) } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ sombra\ del\ arbol = \frac{10 \ metros }{ tan(24^o) } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ sombra\ del\ arbol = \frac{ 10 \ metros }{ 0.445228685386 } }}$

$\boxed { \bold { longitud \ sombra\ del\ arbol \approx 22.46036 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { longitud \ sombra\ del\ arbol \approx 22.46 \ metros}}$

La longitud de la sombra proyectada por el árbol es de aproximadamente 22.46 metros

Se agrega gráfico