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Explicación paso a paso:
Una ecuación entera de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En la enseñanza secundaria se abordan con mucho énfasis las de una y dos variables.
Índice
1 Ecuación de primer grado con una incógnita
2 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
3 Formas alternativas
4 Ecuación lineal en el espacio n-dimensional
4.1 Sistemas de ecuaciones lineales
5 Linealidad
6 Véase también
7 Bibliografía
8 Referencias
Ecuación de primer grado con una incógnita
Este tipo de ecuaciones están incorporados en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) para abordar en los primeros años de la Educación Secundaria para saber usar estrategias algebraicas para encontrar soluciones.1
Ecuación de primer grado y una variable
{\displaystyle ax+b=0\;,\quad a\neq 0}{\displaystyle ax+b=0\;,\quad a\neq 0}
Una ecuación de una variable {\displaystyle mx+n=0}{\displaystyle mx+n=0} definida sobre un cuerpo {\displaystyle \mathbb {K} }{\mathbb {K}}, es decir, con {\displaystyle \{m,n,x\}\subset \mathbb {K} ,m\neq 0}{\displaystyle \{m,n,x\}\subset \mathbb {K} ,m\neq 0} donde x es la variable, admite la siguiente solución:
Ejemplo: ecuación de una variable
{\displaystyle x=-{\frac {n}{m}}}{\displaystyle x=-{\frac {n}{m}}}
La solución de una ecuación lineal de una variable, se puede representar en una gráfica con una recta paralela al eje vertical
Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n, si el anillo es un dominio de integridad:
{\displaystyle \exists k:n=m\cdot k\Rightarrow x=-k}{\displaystyle \exists k:n=m\cdot k\Rightarrow x=-k}
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.
La incorporación de dos variables a las ecuaciones lineales produce que se puedan interpretar relaciones matemáticas entre ellas. La educación secundaria aborda este concepto a través de la modelización matemática de situaciones problemáticas. 2
Una de las formas algebraicas más utilizada en las ecuaciones lineales de dos variables es :
{\displaystyle y=mx+n}{\displaystyle y=mx+n};
También se conoce como forma explícita.
Donde {\displaystyle m}m representa la pendiente y el valor de {\displaystyle n}n determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).
En el sistema cartesiano las ecuaciones lineales con dos incógnitas representan rectas.
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser los siguientes:
{\displaystyle 3x+2y=5}{\displaystyle 3x+2y=5}
{\displaystyle 3x+y-5=-7x+4y+3}{\displaystyle 3x+y-5=-7x+4y+3}
Algunos necesitan de la utilización de técnicas algebraicas para representarlas como la forma explícita de las rectas. 3
Formas alternativas
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
{\displaystyle Ax+By+C=0}{\displaystyle Ax+By+C=0}
Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
Ejemplo de forma segmentaria:x/2 + y/3 = 1
{\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1}{\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1}
Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
{\displaystyle x=Ut+x_{0}}{\displaystyle x=Ut+x_{0}}
{\displaystyle y=Vt+y_{0}}{\displaystyle y=Vt+y_{0}}
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto {\displaystyle (x_{0},y_{0})}{\displaystyle (x_{0},y_{0})} y forma con el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface: {\displaystyle \tan \alpha =V/U}{\displaystyle \tan \alpha =V/U}