Question

La gráfica pasa por los puntos: (2/3; 1/6) y (1/2; 1).

Answer 1

Solución

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados

Para hallar la ecuación de la recta debemos primero determinar su pendiente

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La pendiente es igual al cambio en y respecto al cambio en x

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ en \ y }{ cambio \ en \ x } }}$

El cambio en x es igual a la resta en la coordenada X y el cambio en y es igual a la resta en la coordenada Y

Por tanto

La pendiente esta dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente de la recta

Determinamos su pendiente

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados

$\boxed{\bold { A \left(\frac{2}{3} , \frac{1}{6}\right ) \ \ \ B\left( \frac{1}{2} , 1\right) } }$

La pendiente está dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 1 - \left(\frac{1}{6}\right ) }{ \frac{1}{2} -\left (\frac{2}{3}\right ) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 6 \ . \left( 1 -\frac{1}{6}\right ) }{6 \ . \left ( \frac{1}{2} -\frac{2}{3}\right ) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 6 -\frac{6}{6} }{ \frac{6}{2} -\frac{12}{3} } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 6-1 }{ 3-4 } }}$

$\boxed{\bold {m = -\frac{ 5 }{ 1 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = -5 }}$

La pendiente de la recta es -5

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { -5 } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { \left(\frac{2}{3} , \frac{1}{6} \right )}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - \left(\frac{1}{6}\right ) = -5\ . \left (x - \left(\frac{2}{3}\right )\right ) }}$

$\boxed {\bold { y - \frac{1}{6}= -5\ . \left (x -\frac{2}{3}\right ) }}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - \frac{1}{6}= -5\ . \left (x -\frac{2}{3}\right ) }}$

$\boxed {\bold { y - \frac{1}{6}= -5 x +\frac{10}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{10}{3} +\ \frac{1}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{10}{3}\ . \ \frac{2}{2} +\ \frac{1}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{20}{6} +\ \frac{1}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5x +\frac{21}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{\not3 \ . \ 7 }{\not3 \ . \ 2 } }}$

$\large\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{7}{2} }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta

Verificación analítica

Reemplazamos en la ecuación de la recta hallada el valor de la coordenada x de los puntos dados para determinar su valor correspondiente para y

Para

$\bold { A \left(\frac{2}{3} , \frac{1}{6}\right ) }$

$\bold { Reemplazamos \ x =\frac{2}{3} }$

En

$\bold { y = -5 x +\frac{7}{2} }$

$\bold { y = -5 \ .\ \frac{2}{3} +\frac{7}{2} }$

$\bold { y = -\frac{10}{3} +\frac{7}{2} }$

$\bold { y = -\frac{10}{3} \ . \ \frac{2}{2} +\frac{7}{2}\ . \ \frac{3}{3} }$

$\bold { y = -\frac{20}{6} +\frac{21}{6} }$

$\boxed {\bold { y = \frac{1}{6} }}$

Correspondiendo la coordenada y al punto A dado

Para

$\bold { B \left(\frac{1}{1} , 1 \right) }$

$\bold { Reemplazamos \ x =\frac{1}{2} }$

En

$\bold { y = -5 x +\frac{7}{2} }$

$\bold { y = -5 \ .\ \frac{1}{2} +\frac{7}{2} }$

$\bold { y = -\frac{5}{2} +\frac{7}{2} }$

$\bold { y =\frac{2}{2} }$

$\boxed {\bold { y = 1}}$

Correspondiendo la coordenada y al punto B dado

Se cumple que la ecuación de la recta hallada pasa por los puntos

$\boxed{\bold { A \left(\frac{2}{3} , \frac{1}{6}\right ) \ \ \ B\left( \frac{1}{2} , 1\right) } }$

La ecuación de la recta que pasa por los puntos dados está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{7}{2} }}$

Se adjunta gráfica