Question

buenas amigos, podrian ayudarme en estas integrales, las intente resolver por cambio de variable, pero nada.

Answer 1

Para la primera integral, tenemos

$\displaystyle\int{ t^{3} \sqrt{2-t^{2} } } dt \\ \\ \textrm{hacemos una sustitucion:} \\ u= \sqrt{2-t^{2}} \\ \\ \textrm{derivamos:} \\ \\ \displaystyle du= \frac{-2t}{2 \sqrt{2-t^{2} } }dt=\frac{-t}{ \sqrt{2-t^{2} } }dt \\ \\ \textrm{pero ya sabemos que u=\sqrt{2-t^{2}} , entonces:} \\ \\ \displaystyle du= \frac{-t}{u}dt \\ \\ \textrm{despejamos el diferencial de te (dt) :} \\ \\ \displaystyle dt= -\frac{u}{t}du$

pero además, de la sustitución podemos hacer lo siguiente,

$u= \sqrt{2-t^{2} } \\ u^{2} = ( \sqrt{2- t^{2} } )^{2} \\ u^{2} =2-t^{2} \\ t^{2}=2- u^{2}$

listo, con todo ésto vamos a armar la nueva integral,

$\displaystyle\int{ t^{3}(u) \left(-\frac{u}{t}du\right) } =-\int{ t^{2} u^{2} }du= -\int{ (2- u^{2} ) u^{2} }du=... \\ \\ \\ ...=\int{(2u^{2}- u^{4} ) }du$

y ésta ya es una integra mucho más fácil y luego vuelves a la variable orignal

haber revísale hasta aquí

para la siguiente integral debemos hacer algo parecido, consideramos la siguiente sustitución

$\displaystyle u=\left(1+y^{3} \right)^{ \frac{1}{4} } \\ \\ \textrm{derivamos usando la regla de cadena si gustas:} \\ \\ du= \frac{1}{4}(1+y^{3} )^{ \frac{1}{4}-1 }(3y^{2} )dy \\ du= \frac{3 y^{2} }{4((1+y^{3} )^{ \frac{3}{4} })} dy \\ \\ \textrm{despejamos el diferencial de ye:} \\ \\ dy= \frac{4((1+y^{3} )^{ \frac{1}{4} })^{3} du}{3y^{2} } = \frac{4 u^{3}du }{3y^{2} }$

ahora reemplaza en la integral, y veamos como consigues poner todo en función de u