Question

Encuentre la función lineal
a) La gráfica pasa por los puntos: (-1, 2) y (2, 2)
b) La gráfica pasa por los puntos: (2/3; 1/6) y (1/2; 1).

Answer 1

a) La ecuación de la recta está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = 2}}$

b) La ecuación de la recta está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{7}{2} }}$

Solución

a)

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados

Determinamos su pendiente

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La pendiente es igual al cambio en  y  respecto al cambio en  x

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ en \ y }{ cambio \ en \ x } }}$

El cambio en  x  es igual a la resta en la coordenada X (también llamada avance), y el cambio en  y  es igual a la resta en la coordenada Y (también llamada elevación).

$\boxed{\bold {m = \frac{ elevacion }{ avance } }}$

La pendiente esta dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente de la recta

Determinamos su pendiente

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados

$\boxed{\bold { A \ (-1 , 2) \ \ \ B\ ( 2 , 2 ) } }$

La pendiente está dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2 - (2) }{ 2 - (-1) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 2 - 2 }{ 2 +1 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 0 }{ 3 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = 0 }}$

La pendiente de la recta es 0

Por tanto

Dado que la pendiente m de la recta es m = 0 la recta es constante y su gráfica será paralela al eje X

Lo demostramos

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { 0 } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { (-1,2 )}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y -(2) = 0\ . \ (x-(-1)) }}$

$\boxed {\bold { y -2 = 0\ . \ (x+1) }}$

$\boxed {\bold { y -2 = 0}}$

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y -2 = 0}}$

$\large\boxed {\bold { y = 2}}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta dada

b)

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados

Determinamos su pendiente

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados

$\boxed{\bold { A \left(\frac{2}{3} , \frac{1}{6}\right ) \ \ \ B\left( \frac{1}{2} , 1\right) } }$

La pendiente está dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 1 - \left(\frac{1}{6}\right ) }{ \frac{1}{2} -\left (\frac{2}{3}\right ) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 6 \ . \left( 1 -\frac{1}{6}\right ) }{6 \ . \left ( \frac{1}{2} -\frac{2}{3}\right ) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 6 -\frac{6}{6} }{ \frac{6}{2} -\frac{12}{3} } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ 6-1 }{ 3-4 } }}$

$\boxed{\bold {m = -\frac{ 5 }{ 1 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = -5 }}$

La pendiente de la recta es -5

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada

Cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { -5 } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { \left(\frac{2}{3} , \frac{1}{6} \right )}$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - \left(\frac{1}{6}\right ) = -5\ . \left (x - \left(\frac{2}{3}\right )\right ) }}$

$\boxed {\bold { y - \frac{1}{6}= -5\ . \left (x -\frac{2}{3}\right ) }}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { y - \frac{1}{6}= -5\ . \left (x -\frac{2}{3}\right ) }}$

$\boxed {\bold { y - \frac{1}{6}= -5 x +\frac{10}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{10}{3} +\ \frac{1}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{10}{3}\ . \ \frac{2}{2} +\ \frac{1}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{20}{6} +\ \frac{1}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5x +\frac{21}{6} }}$

$\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{\not3 \ . \ 7 }{\not3 \ . \ 2 } }}$

$\large\boxed {\bold { y = -5 x +\frac{7}{2} }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta dada

Se adjuntan gráficas