Question

Hallar las coordenadas del punto A, sabiendo que la parábola es el gráfico de f(x)= -x²+8x+4 y el punto V es el vértice de la parábola.

Answer 1

-x² + 8x + 4 → ax² + bx + c

Primero encontramos el vértice de la parábola, para encontrar "x" usaremos esta formula:

x = -b / 2a
x = -8 / 2(- 1) = 4

Ahora para encontrar "y", evaluamos "x" en la función original:

-(4)² + 8(4) + 4 = 20

Vértice de la parábola (4, 20)

Ya teniendo este punto y el del origen (0, 0) entonces usaremos la formula punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta, pero antes vamos a encontrar la pendiente:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m = (0 - 20) / (0 - 4) = 5

¡Vamonos directo a la punto pendiente!

(4, 20) = (px, py)

(y - py) = m(x - px)
(y - 20) = 5(x - 4)
y - 20 = 5x - 20
y = 5x - 20 + 20
y = 5x ← ¡Esta seria la ecuación de la recta!

Ahora para saber los puntos que "toca" la recta, basta con igualar las dos ecuaciones(parábola y recta):

-x² + 8x + 4 = 5x
x² - 8x - 4 = -5x
x² - 8x - 4 + 5x = 0
x² - 3x - 4 = 0
(x - 4) (x + 1) = 0

Valores de "x" adonde se interceptan la parabola y la recta:

x = 4 ← ¡Vertice de la parábola!
x = -1 ← ¡Coordenada que buscas!

-(- 1)² + 8(- 1) + 4 = -5

La coordenada que buscas es (-1, -5)

Espero haberte ayudado, saludos!