Question

cuanto debe valer a para que el cuarto termino del binomio sea 63? (3/4 a-2/3a)a la octava8

Answer 1

Para que el cuarto término del binomio dado valga 63 el valor de    a    debe ser:

$\bold{ a~=~\sqrt[5]{2^4}}$

Explicación paso a paso:

Usaremos la definición del Binomio de Newton

$\bold{(p~+~q)^k~=~\Sigma_{i}~(\begin{array}{c}k\\i\end{array})\cdot p^{k~-~i}\cdot q^i}$

Donde:

$\bold{kCi~=~(\begin{array}{c}k\\i\end{array})~=~\dfrac{k!}{(k~-~i)!~i!}}$

es el número combinatorio con

k   es la potencia del binomio

i    es el contador de los  k  +  1  términos del desarrollo del binomio  (i  =  0, 1, 2, …, k)

En el caso estudio, se quiere el valor de    a    para que el cuarto término del desarrollo del binomio con potencia  8  sea igual a   63:

Veamos el cuarto término del desarrollo usando la fórmula dada:

k  =  8

i  =  3

p  =  3/4 a

q  =  -2/3

$\bold{63~=~(\begin{array}{c}8\\3\end{array})\cdot (\dfrac{3}{4}\cdot a)^{8~-~3)}\cdot (-\dfrac{2}{3})^3\qquad\Rightarrow}$

$\bold{63~=~\dfrac{8!}{(8~-~3)!\cdot 3!} \cdot (\dfrac{3^5}{4^5}\cdot a^5)\cdot (-\dfrac{2^3}{3^3})\qquad\Rightarrow }$

$\bold{63~=~-\dfrac{8\cdot7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \cdot (\dfrac{3^2}{2^7}\cdot a^5)\qquad\Rightarrow }$

$\bold{\dfrac {63\cdot2^4}{7\cdot 3^2}~=~ a^5\qquad\Rightarrow \qquad a~=~\sqrt[5]{2^4}}$

Para que el cuarto término del binomio dado valga 63 el valor de    a    debe ser:

$\bold{ a~=~\sqrt[5]{2^4}}$