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Abstract
In mathematics, factorization is a technique that consists of the decomposition of a mathematical expression in the form of a product. Factorization can be considered as the inverse operation to multiplication, since the purpose of the latter is to find the product of two or more factors; While in factorization, we look for the factors of a given product. It aims to simplify or rewrite an expression in factors or divisors that manage to divide the expressions that when multiplied with each other results in the first expression. There are different types of factorization, which allow the decomposition of different algebraic expressions, among which are: common factor, grouping, difference of squares and trinomials of the form imagenes, among others.
Keywords: factorization, common factor, similar terms, difference of squares, trinomial, conjugated binomials, simplify.
FACTORIZACIÓN
Para entender el concepto teórico de este tema, es necesario recordar el término FACTOR es el nombre que se le da a toda cantidad, en palabras más técnicas, un factor es toda cantidad que se está multiplicando con otra. Así, FACTORIZAR una cantidad o expresión significa encontrar sus factores, es decir, aquellos números que multiplicados dan dicha cantidad. Por ejemplo, factorizar el número 6 significa hallar los números que multiplicados entre sí dan el 6. Son el 2 y el 3, ya que 6 = 2 × 3. Factorizar el 6 es escribirlo de la forma 2 × 3.
Cuando se trata de una expresión algebraica, factorizarla es también escribirla de manera que su operación principal sea la multiplicación. Para factorizar expresiones algebraicas es necesario clasificarlas en diferentes casos; por factor común, por agrupamiento, diferencia de cuadrados y trinomio de la forma imagenes, entre otros.
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
Para factorizar por agrupación es necesario recordar la factorización por factor común, ésta consiste en:
Se localizan y se escriben todos los factores comunes en su máxima expresión.
Se escribe a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original luego de haberle quitado a cada término los factores comunes.
En caso de que el factor común sea todo uno de los términos de la expresión original, en su lugar se pone 1.
En la regla anterior, debe quedar claro que la afirmación "luego de haberle quitado a cada término los factores comunes", no debe entenderse como simplemente borrarlos o desaparecerlos, sino que es equivalente a realizar una división de cada término de la expresión original entre el factor común, ya que lo que se está multiplicando (factor) se quita a través de su operación inversa que es precisamente la división.
Ejemplo: Factorizar imagenes
Solución: Se localizan y se escriben todos los factores comunes: en este caso es 2ab.
Una vez recordado la factorización por factor común, pasamos a la factorización por agrupación.
El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos, o de tres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente volver a factorizar por factor común, en donde el paréntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor común.
Como regla práctica, el signo del primer término de cada grupo es el signo que debe ponerse en cada factorización por factor común.
Ejemplo: Factorizar imagenes
Solución: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros términos y el otro con los otros dos términos.
imagenes
Factorizando cada grupo por factor común: El primer grupo tiene a c como factor común, mientras que el segundo grupo tiene al 5. De manera que resulta que:
imagenes
Obsérvese que en ésta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es la suma, por lo que no está aún factorizado.
Volviendo a factorizar por factor común, ya que el paréntesis repetido es ése factor común, finalmente se obtiene que:
imagenes
Obsérvese que en esta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es la multiplicación, por lo que ya está factorizado.
Ejemplo: Factorizar imagenes
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. De lo anterior puede escribirse la siguiente regla:Ejemplo 2: Factorizar imagenes
Resolviendo: imagenes
De manera
=2x(m+2n)-3y(m+2n)5(m+2n)
=(2x-3y+5)(m+2n)