si N: 15 × 30^n tiene 294 divisores ¿Cual es él valor de n)

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Respuestas

Respuesta dada por: valentinohectorcaban
401

Respuesta:

Lo resolví!

Explicación paso a paso:

Estoy en segundo de secundaria y me mandaron este problema, y porfin después de una hora lo resolví, así que voy a compartir mis conocimientos ( no se necesita logaritmos ni nada de eso )

N= 15 . 30^n entonces descomponemos 15 y 30 y sale

N= 3 . 5 .(2.3.5)^n y aplicamos un poco de álgebra (2.3.5)^n = 2^n . 3^n . 5^n

N= 3 . 5 . 2^n . 3^n . 5^n

N= 2^n . 3^n+1 . 5^n+1

Calculamos el número de divisores:

Numero de divisores = (n + 1) (n+ 1 + 1) (n + 1 + 1)

Entonces 294 es igual a:

294 = (n + 1) (n + 2)^2

entonces ahora descomponemos 294 y sale que 294 = 2.3.7^2 y tenemos que hacer que (n + 1) (n + 2)^2 coincida con 2.3.7^2, y como lo hacemos? facil, 2.3= 6 entonces queda

6. 7^2 e igualando a (n + 1) (n + 2)^2 sale la respuesta

(n + 1) (n + 2)^2 = 6. 7^2

n = 5

Respuesta dada por: mafernanda1008
6

El problema no tiene solución pues el valor de "n" no es natural

Tenemos que si N = 15 × 30ⁿ  entonces si descomponemos en factores primos:

N = (3×5)×(2×3×5)ⁿ

= 3ⁿ⁺¹×5ⁿ⁺¹×2

Entonces el número de divisores es:

(n + 1 + 1)(n + 1 + 1)(1 + 1) = 294

Entonces despejamos el valor de "n":

(n + 2)(n + 2) = 294/2

(n + 2)² = 147

n² + 4n + 4 = 147

n² + 4n + 4 - 147 = 0

n² + 4n - 143 = 0

Vemos que las soluciones no son enteras, por lo tanto, el problema no tiene solución

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