11. Se construirá una ventana con un perímetro de 6 metros. La base tiene forma rectangular; y la parte superior, de triángulo isósceles. Determina las dimensiones de x e y, que hacen que el área de la ventana sea máxima.
Respuestas
Respuesta:
la ventana no debe ser damciado grande ya que no son lo suficientemente flexibles a menos que sean gruesas pero igual hay peligro
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Primero obtenemos el perímetro de la figura y esa es la medida del contorno de la figura:
6x + 2y + 10x = 6 metros
Reduciendo términos semejantes, tenemos:´
16x + 2y = 6 esta es mi primera ecuación
Luego deduzcamos las áreas de cada una de las figuras, ya que si seccionamos la figura completa, logramos ver que posee un triángulo isósceles y un rectángulo
El área del rectángulo es: base por altura; es decir, 6x(y)
El área del triángulo es: (base por altura)/2, es decir, ((6x) (4x))/2
Sumando las dos áreas, tenemos:
6x (y) + 12x², esta sería el área máxima de la figura, ahora la escribimos en términos de una función
A(x) = 6xy + 12x², pero acá tenemos dos variables, necesitaos dejarla en términos de una sola variable, para eso nos auxiliamos de la primera ecuación que deducimos antes.
Despejemos "y" de esa ecuación:
16x +2y = 6,
2y = 6 - 16x, transponiendo términos
y = 3 - 8x, ahora esta variable despejada, sustituyámosla en la ecuación del área:
A(x) = 6xy + 12x²
A(x) = 6x (3 - 8x) + 12x²
A(x) = 18x - 48x² + 12x²
Reduciendo términos semejantes
A(x) = - 36x² + 18x, ahora completemos cuadrado y saquemos la ecuación ordinaria de una parábola
A(x) = - 36(x² - (1/2)x + (1/4)² - (1/4)²)
A(x) = - 36(x - 1/4)² + 36/16
A(x) = - 36(x - 1/4)² + 9/4
Logramos observar que en la ecuación ordinaria el valor del punto más alto de la parábola es el valor de "y" y este vale 9/4 y el de "x" es 1/4, serían los valores para que el área sea máxima