Question

encuentre el punto donde se cortan las rectas tangentes a la gráfica de x²+y²=25 en (-3,4) y (-3,-4)​

Answer 1

Respuesta:

El punto donde se cortan las rectas tangentes es $(-\frac{25}{3}, 0)$

Explicación paso a paso:

Como se puede observar en el ejercicio, nos están entregando una función implícita con 2 puntos: A=(-3,4), B=(-3,-4). Recordemos que la función de la gráfica es: $x^{2} +y^{2} =25$. Debemos derivar esta función para poder hallar la pendiente (La pendiente es la derivada de la función).

-Derivando queda:

$2x+2xyy'=0$

-Despejamos y':

$y'=-\frac{2x}{2y}$

-Simplificamos:

$y'=-\frac{x}{y}$

-Teniendo esto reemplazamos los puntos A y B en la derivada para hallar su pendiente:

Pendiente de A = $\frac{3}{4}$, Pendiente de B = $-\frac{3}{4}$

-Se debe encontrar las formulas de las rectas tangentes de la gráfica(y-y₁=m(x-x₁)):

Recta tangente del punto A: $y=\frac{3x}{4} +\frac{25}{4}$

Recta tangente del punto B: $y=-\frac{3x}{4} -\frac{25}{4}$

-Se igualan las dos formulas y se resuelve:

$-\frac{3x}{4} -\frac{25}{4}=\frac{3x}{4} +\frac{25}{4}$

$\frac{3}{2}x=-\frac{25}{2}$

$x=-\frac{25}{3}$

-Se reemplaza la x en cualquier formula de la recta tangente:

$y=\frac{3(-\frac{25}{3}) }{4}-\frac{25}{4}\\y=0$

RTA: El punto donde se cortan las dos rectas tangentes es $(-\frac{25}{3}, 0)$