5.3. Dos equipos A y B (elija su deporte preferido) van a disputar un trofeo que se adjudicará el primero de ellos que gane 3 encuentros. Considere los encuentros de la serie como repeticiones de un experimento. En cada repetición sólo hay dos resulta dos posibles: gana A o gana B. Por ejemplo, si el equipo A gana los primeros 3 encuentros, la serie termina, y el evento lo denotamos por (AAA).
a) Escriba el espacio muestral (pista: hay 20 resultados posibles).
b) De acuerdo con la historia de encuentros entre los equipos A y B, A ha ganado el 60% de sus juegos con B. Suponga entonces que P(A) = 0.6, y suponga además que los encuentros de la serie son independientes. Determine las probabilidades para cada uno de los 20 resultados posibles.
c) Sea X el número de juegos ganados por el equipo A. Obtenga la función de probabilidades de X.
Respuestas
Respuesta:
a)U= {AAA, BBB, AABA, ABAA, ABBB, BBAB, BABB, BAAA, AABBA, AABBB, ABBAA, ABBAB, ABABA, ABABB, BBAAB, BBAAA, BAABB, BABAA, BABAA, BABAA}.
b) 0.6^3,...,0.4^2×0.6^3.
c) Si x=0, p(x)=0.4^3 y si x=1, p(x)=0.6*0.4^3 y si x=2, p(x)=5*0.6^2*0.4^3 y si x=3, p(x)=0.6^3.
Explicación:
a) Pueden jugar hasta 5 partidos. Supón que se jugaran más, A gana el primero o no lo gana. Si lo gana, gana el segundo o no lo gana. Si lo gana, no puede ganar el tercero, ni el cuarto, ni el qunto, porque la serie terminaría antes de haber pasado un número menor o igual a 5. Pero en ese caso B tendría que ganar (no hay empates) tres juegos seguidos: el tercero, el cuarto y el quinto, lo que acabaría la serie en un número menor o igual a 5 partidos jugados. Luego solo queda no gane el segundo, pero en tal caso gana el tercero o no lo gana. Si lo gana, no puede ganar el cuarto y el quinto, ya que ganó el primero y terminaría la serie en el cuarto o quinto juego y jugarán más de cinco juegos. Pero en tal caso B ganaría el segundo, cuarto y quinto, lo que acabaría la serie en 5 juegos. Entonces, solo queda que A no gane el tercero, pero en tal caso, gana el cuarto o no lo gana. Si lo gana, no puede ganar el quinto, ya que como ganó el primero y el cuarto, acabaria el juego en 5 partidos. Luego, solo queda que no gane el cuarto, pero en tal caso B habría ganado tres partidos, el segundo, el tercero y el cuarto, terminado la serie en cuatro partidios. Así, en todos los casos se llega a que se juegan más de 5 partidos y menos o igual número de partidos, lo que es una contradicción. Pero a esa contradicción se llega por suponer en primer lugar que se juegan más de cinco partidos. Que se pueden jugar al menos cinco, quedó establecido arriba:
AAA, BBB, AABA, ABAA, ABBB, BBAB, BABB, BAAA, AABBA, AABBB, ABBAA, ABBAB, ABABA, ABABB, BBAAB, BBAAA, BAABB, BABAA, BABAA, BABAA.
Entonces, el conjunto de los posibles juegos (espacio muestral U) es U={AAA, BBB, AABA, ABAA, ABBB, BBAB, BABB, BAAA, AABBA, AABBB, ABBAA, ABBAB, ABABA, ABABB, BBAAB, BBAAA, BAABB, BABAA, BABAA, BABAA}.
b) Como los eventos son independientes, luego, por ejemplo P(AAA) se calcula así: P(A)*P(A)*P(A)=0.6^3 y así con los otros miembros de U.
c) Como A puede ganar hasta 3 juegos: gana al menos uno o no gana ninguno, si gana al menos uno están las siguientes posibilidades: gana solo uno o gana dos o gana los tres.
• Si gana uno, están la posibilidaded ABBB y p(x)=0.6*0.4^3.
•Si gana dos, están las siguientes posibilidades {AABBB, ABBAB, ABABB, BBAAB, BAABB} y p(x)=5*(0.6)^2*0.4^3.
•Si gana tres, está la siguiente posibilidad AAA y p(x)=0.6^3.
•Si no gana ninguno, está la siguiente posibilidad: BBB y
p(x)=0.4^3.