Question

Hallar el menor de un angulo entre las rectas 4y-2x+4=0 y 6y-4x+10=0 Por favor es urgente

Answer 1

Para encontrar dicho ángulo encontraremos vectores que sean colineales con cada una de las rectas y luego encontraremos su producto escalar para determinar la magnitud del ángulo.

Primero tomamos la recta,

 $4y-2x+4=0$

despejando y expresandola como función de "y",

 $y(x)=\frac{1}{2}x-1$

haciendola una recta por el origen,

 $y(x)=\frac{1}{2}x$

evaluandola en x=1,

 $y(1)=\frac{1}{2}$

así que el vector,

$A=\left(1,\frac{1}{2}\right)$

es colineal a la primera recta.

Por otro lado repetimos el proceso de expresar como una función recta por el origen a la segunda recta para obtener,

$y(x)=\frac{2}{3}x$

que al ser evaluada en x=1 es,

$y(1)=\frac{2}{3}$

así que el vector,

$B=\left(1,\frac{2}{3}\right)$

es colineal a la segunda recta.

Recordemos que la definición del producto escalar es,

$A*B=IAIIBI\cos\theta$

así que antes de efectuarlo debemos conocer las normas de A y B.

$IAI=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

$IBI=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{13}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

Ahora bien, recordando también que el producto escalar en dos dimensiones se puede calcular como la suma del producto de las primeras coordenadas más el producto de las segundas coordenadas,

$A*B=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{5}}{2}\frac{\sqrt{13}}{3}\cos\theta$

despejando,

$\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{13}\sqrt{5}}$

o,

$\theta=\arccos\left(\frac{8}{\sqrt{13}\sqrt{5}}\right)$

Dejo pendiente el cálculo numérico.