Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (−1 ; −4) ; (2 ; −1) y cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y + 5 = 0.
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
La ecuación de la circunferencia es igual a (x + 3)² + (y - 1)² = 29
Sea el centro de la circunferencia (h, k) entonces como para por la recta 4x + 7y + 5 = 0, se cumple que:
4h + 7k + 5 = 0
Luego la distancia entre el centro y cualquiera de los dos puntos (−1 ; −4) ; (2 ; −1) debe ser el radio:
r² = (h + 1)² + (k +4)²
r² = (h -2)² + (k + 1)²
Restamos las ecuaciones:
0 = (h + 1)² + (k +4)² - ( (h -2)² + (k + 1)²)
0 = h² + 2h + 1 + k² + 8k + 16 - (h² - 4h + 4 + k² + 2k + 1)
0 = h² + 2h + 1 + k² + 8k + 16 - h² + 4h - 4 - k² - 2k - 1
0 = 6h + 6k + 12
Tenemos que:
6h + 6k + 12 = 0
4h + 7k + 5 = 0
Multiplicamos la primera ecuación por 4/6:
4h +4k + 8 = 0
Restamos la segunda ecuación con la tercera
3k - 3 = 0
3k = 3
k = 1
Sustituyendo:
4(1) + 4h + 8 = 0
4h + 12 = 0
h = -12/4
h = -3
Sustituimos en la ecuación del radio al cuadrado:
r² = (-3 + 1)² + (1 +4)²
r² = 4 + 25
r² = 29
La ecuación de la circunferencia es:
(x + 3)² + (y - 1)² = 29
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