Question

ayúdeme a Encontrar el máximos y mínimos de la siguiente función: $x^{4} -x^{2} +1$

Answer 1

Respuesta: En  x = 0  hay un máximo

                   En  x = (√2)/2  hay un mínimo

                   En  x = -(√2)/2 hay un mínimo

Explicación paso a paso:

F(x)  = x^4  -  x²  +  1

Se deriva y se iguala a cero:

F' (x)  = 4x³ - 2x

Entonces,  4x³ - 2x   = 0

   2x(2x² - 1)  = 0

⇒ 2x  = 0   ó   2x² - 1  = 0

⇒   x  = 0   ó   2x²  =  1

⇒   x  = 0   ó     x²  = 1/2

⇒   x  = 0   ó     x   = ±√(1/2)

⇒   x  = 0   ó     x  =  ±(√2)/2

Por tanto, los puntos críticos son x = 0,  x = (√2)/2  y   x = -(√2)/2

Para saber cuál es máximo y cuál es mínimo, se emplea el criterio de la segunda derivada:

   F' (x)  = 4x³ - 2x  ⇒  F" (x)  = 12x² - 2

⇒F" (0)  = 12. (0)² - 2  = -2, entonces como F"(0) < 0, en  x = 0  hay un máximo.

  F" ( (√2)/2)  = 12 .(√2)/2)² - 2  = 4 , como F"(√2)/2) > 0, entonces en

 x =  (√2)/2 hay un mínimo.

 F" (-√2)/2)  = 12. [(-√2)/2)]² - 2  = 4, como F"(√2)/2) > 0, entonces en

 x  = -(√2)/2 hay un mínimo