La ecuación siguiente x2−1, posee:
a.
Tres soluciones
b.
Una solución
c.
Dos soluciones
d.
Infinitas soluciones
Respuestas
Respuesta:
Una solución. Un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución cuando las gráficas se intersecan en un punto.
Sin solución. Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución cuando las gráficas son paralelas.
Soluciones infinitas. Un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones infinitas cuando las gráficas son exactamente la misma recta.
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Ejemplo de un sistema con una sola solución
Nos piden encontrar el número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ 3x+y&=-4 \end{aligned}
y
3x+y
=−6x+8
=−4
Escribámoslas en forma pendiente-ordenada al origen:
\begin{aligned} y&=-6x+8\\\\ y&=-3x-4 \end{aligned}
y
y
=−6x+8
=−3x−4
Ya que las pendientes son distintas, las rectas deben intersecarse. Estas son sus gráficas:
Dado que las rectas se intersecan en un punto, hay una sola solución al sistema de ecuaciones que representan.
Ejemplo de un sistema sin solución
Nos piden encontrar el número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
\begin{aligned} y &= -3x+9\\\\ y &= -3x-7 \end{aligned}
y
y
=−3x+9
=−3x−7
Sin graficar estas ecuaciones, podemos observar que ambas tienen una pendiente de -3−3minus, 3. Esto significa que las rectas son paralelas. Dado que sus ordenadas al origen son diferentes, sabemos que estas rectas no están la una sobre la otra.
No hay solución para este sistema de ecuaciones.
Ejemplo de un sistema con soluciones infinitas
Nos piden encontrar el número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
\begin{aligned} -6x+4y &= 2\\\\ 3x-2y &= -1 \end{aligned}
−6x+4y
3x−2y
=2
=−1
Curiosamente, si multiplicamos la segunda ecuación por -2−2minus, 2, obtenemos la primera ecuación:
\begin{aligned} 3x-2y &= -1\\\\ \blueD{-2}(3x-2y)&=\blueD{-2}(-1)\\\\ -6x+4y &= 2 \end{aligned}
3x−2y
−2(3x−2y)
−6x+4y
=−1
=−2(−1)
=2
En otras palabras, las ecuaciones son equivalentes y comparten la misma gráfica. Cualquier solución que funcione para una de las ecuaciones también funcionará para la otra, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones.
Practica
PROBLEMA 1
¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones lineales?
\begin{aligned} y &= -2x+4\\\\ 7y &= -14x+28 \end{aligned}
y
7y
=−2x+4
=−14x+28
Explicación paso a paso: