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Concurrencia de perpendicularesPublicado el 21/02/2013 Sea un triángulo , y tres puntos en las rectas . Por cada uno de esos puntos trazamos una perpendicular a la recta respectiva.
Una condición necesaria y suficiente para que esas perpendiculares sean concurrentes en un punto es que se cumpla la relación:
Si las perpendiculares concurren en , , etc, y se cumple la relación. Por otro lado como determina un único punto en la recta , la relación es condición suficiente para la concurrencia de las perpendiculares.Aplicando ese criterio se demuestran los siguientes corolarios.
1) Las perpendiculares por los puntos medios de los lados concurren en un punto, porque en ese caso , etc.
2) Las alturas concurren en un punto, porque en ese caso tenemos que , etc.
3) Si es el simétrico de respecto a una recta (verde en la figura), las perpendiculares desde los vértices a los lados correspondientes de se cortan en un punto .Porque , etc, y, por simetría, .
4) Si son los pies de las perpendiculares desde los vértices de a una recta dada, las perpendiculares desde a los lados concurren en un punto .
Porque , y permutando cíclicamente tenemos 12 términos que se cancelan.
5) Si son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto sobre los lados de , las perpendiculares trazadas desde a son concurrentes en un punto .
Porque, en la figura, , etc, y por tanto , porque las perpendiculares por concurren en .
6) Si las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo a los respectivos lados de otro triángulo se cortan en un punto , entonces las perpendiculares trazadas desde los vértices de a los lados de se cortan en un punto .
Porque , etc, y , etc, y como la suma de las permutaciones cíclicas de vale cero, también será cero la suma de las de .7) , si es el punto medio de .
Entonces, si son los puntos medios de , la condicion necesaria y suficiente para la concurrencia de las perpendiculares se puede expresar como:
.
Una condición necesaria y suficiente para que esas perpendiculares sean concurrentes en un punto es que se cumpla la relación:
Si las perpendiculares concurren en , , etc, y se cumple la relación. Por otro lado como determina un único punto en la recta , la relación es condición suficiente para la concurrencia de las perpendiculares.Aplicando ese criterio se demuestran los siguientes corolarios.
1) Las perpendiculares por los puntos medios de los lados concurren en un punto, porque en ese caso , etc.
2) Las alturas concurren en un punto, porque en ese caso tenemos que , etc.
3) Si es el simétrico de respecto a una recta (verde en la figura), las perpendiculares desde los vértices a los lados correspondientes de se cortan en un punto .Porque , etc, y, por simetría, .
4) Si son los pies de las perpendiculares desde los vértices de a una recta dada, las perpendiculares desde a los lados concurren en un punto .
Porque , y permutando cíclicamente tenemos 12 términos que se cancelan.
5) Si son los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto sobre los lados de , las perpendiculares trazadas desde a son concurrentes en un punto .
Porque, en la figura, , etc, y por tanto , porque las perpendiculares por concurren en .
6) Si las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo a los respectivos lados de otro triángulo se cortan en un punto , entonces las perpendiculares trazadas desde los vértices de a los lados de se cortan en un punto .
Porque , etc, y , etc, y como la suma de las permutaciones cíclicas de vale cero, también será cero la suma de las de .7) , si es el punto medio de .
Entonces, si son los puntos medios de , la condicion necesaria y suficiente para la concurrencia de las perpendiculares se puede expresar como:
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