Question

Demuestre la identidad trigonométrica
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Answer 1

Explicación paso a paso:

La identidad que tienes es:

$Cos^{2}(\alpha ) [Sec^{2}(\alpha )-Tan^{2}(\alpha )] +Sen^{2}(\alpha )[Csc^{2}(\alpha )-Cot^{2}(\alpha )]=1$

Primero, dentro delos corchetes tenemos las expresiones:

$[Sec^{2}(\alpha )-Tan^{2}(\alpha )]$

$[Csc^{2}(\alpha )-Cot^{2}(\alpha )]$

Aplicando las propiedades pitagóricas para Secante con Tangente y Cosecante con Cotangente:

$Identidades:\\1+Tan^{2}(\theta)=Sec^{2}(\theta)--->Sec^{2}(\theta)-Tan^{2}(\theta)=1\\\\1+Cot^{2}(\theta)=Csc^{2}(\theta)--->Csc^{2}(\theta)-Cot^{2}(\theta)=1$

Sustituyendo en nuestra expresión trigonométrica obtenemos:

$Cos^{2}(\alpha ) [Sec^{2}(\alpha )-Tan^{2}(\alpha )] +Sen^{2}(\alpha )[Csc^{2}(\alpha )-Cot^{2}(\alpha )]=1\\\\Cos^{2}(\alpha ) [1] +Sen^{2}(\alpha )[1]=1\\\\Cos^{2}(\alpha ) +Sen^{2}(\alpha )=1$

Por último, aplicamos la identidad pitagórica para Seno y Coseno.

$Identidad:\\Sen^{2}(\theta)+Cos^{2}(\theta)=1$

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos entonces:

$Cos^{2}(\alpha ) +Sen^{2}(\alpha )=1\\\\1=1$

Demostrando así la identidades trigonométrica. Mucho éxito!!