Question

1. De acuerdo con la definición de derivada de una función
Calcular la derivada de la siguiente funcion siguiendo el proceso del límite:

f(x)=5+4x-x^3

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

          Derivada de una función

Definimos la derivada de una función "f" en el punto de abcisa x= a, que denotaremos f'(a) como:

                      $f'(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Tenemos la función

$f(x)= -x^{3} +4x+5$

Vamos a calcular primero f(a+h) o f(x+h)

$f(x+h)= -(x+h)^{3} +4(x+h)+5$

Recordando:

         (a+b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

$f(x+h)= -(x^{3} + 3x^{2} h+3xh^{2} +h^{3} )+4x+4h+5$

$f(x+h)= -x^{3} -3x^{2} h-3xh^{2} -h^{3} +4x+4h+5$  

Ahora, reemplazamos en la definición de derivada:

$f'(x)= \lim_{h\to 0} \frac{-x^{3}-3x^{2} h-3xh^{2}-h^{3}+4x+4h+5-(-x^{3}+4x+5) }{h}$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{-x^{3}-3x^{2} h-3xh^{2}-h^{3}+4x+4h+5+x^{3}-4x-5 }{h}$

Reducimos terminos:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{-3x^{2} h-3xh^{2}-h^{3}+4h }{h}$

$f'(x)= \lim_{h\to 0} \frac{h(-3x^{2} -3xh-h^{2}+4) }{h}$

$f'(x)= \lim_{h \to 0} -3x^{2} -3xh-h^{2} +4$

Finalmente, evalúamos:

$f'(x)= -3x^{2} -3x(0)-(0)^{2} +4$

$f'(x)= -3x^{2} +4$   Solución

Te dejo la explicación de esta definición en el siguiente link:

• https://brainly.lat/tarea/42214779

Saludoss