Question

demostrar que el cruce de las bisectrices internas de los angulos de un cuadrilatero cualquiera forma un cuadrilatero inscriptible

Answer 1

Un cuadrilátero inscriptible tiene una propiedad fundamental: sus ángulos opuestos son suplementarios.

Sean 2 a, 2 b, 2 c y 2 d los ángulos internos del cuadrilátero. a, b, c y d son los semiángulos de las bisectrices.

Si prolongamos las bisectrices a y b, forman un ángulo α, que pertenece al cuadrilátero inscriptible.

Prolongamos las bisectrices c y de se forma el ángulo β, que resulta opuesto a α

Los ángulos internos de un triángulo suman 180° y los de un cuadrilátero suman 360°

Luego: a + b + α = 180; c + d + β = 180

Por otro lado es 2 a + 2 b + 2 c + 2 d = 360; o bien a + b + c + d = 180

Reemplazamos a + b = 180 - α y c + d = 180 - β:

180 - α + 180 - β = 180; por lo tanto α + β = 180

α y β resultan entonces suplementarios, condición de todo cuadrilátero inscriptible. Los otros dos ángulos son también suplementarios.

Saludos Herminio