Question

Los modelos matemáticos que describen fenómenos físicos vienen descritos mediante ecuaciones diferenciales, en cuyo caso es de gran interés la función solución de dicha ecuación; si un investigador obtiene mediante métodos de aproximación numéricos, la siguiente gráfica que representa la función solución de dicha ecuación diferencial

Obtenga la forma matemática de dicha función. Como dato extra el investigador se percató que la curva corta al eje de las y en -1.

Answer 1

La fórmula matemática que representa la función solución de la ecuación diferencial es.

$\bold{y~=~\dfrac{x^2~+~4}{x^2~-~4}}$

Explicación paso a paso:

Una gráfica de es tipo corresponde a una función racional, o sea, una función compuesta por una razón de polinomios.

La gráfica muestra dos rectas asíntotas verticales y una recta asíntota horizontal.

Las asíntotas verticales coinciden con valores de x que no pertenecen al dominio, en este caso:            x  =  -2        y        x  =  2

Por tanto, el polinomio denominador debería ser:

(x  -  2)(x  +  2)  =  x² -  4

La asíntota horizontal existe donde el límite de la función cuando  x  crece indefinidamente existe. Para que este límite exista y de como resultado        y  =  1        se debe cumplir que los polinomios numerador y denominador tengan el mismo grado y los coeficientes de los términos de mayor grado de cada polinomio sea el mismo numero.

Con esta información podemos ir dando forma a nuestro modelo:

$\bold{y~=~\dfrac{x^2~\pm~bx~\pm~c}{x^2~-~4}}$

Para hallar las incógnitas  b  c,  usamos el punto  (0, -1), que constituye un máximo de la función.

Si la función pasa por el punto  (0, -1), entonces:

$\bold{-1~=~\dfrac{(0)^2~\pm~b(0)~\pm~c}{(0)^2~-~4}\quad\Rightarrow\quad-1~=~\dfrac{\pm~c}{-~4}\quad\Rightarrow\quad c~=~4}$

Si la función tiene un máximo en (0, -1), la función derivada es nula en ese punto:

$\bold{y'~=~\dfrac{(2x~\pm~b)(x^2~-~4)~-~(2x)(x^2~\pm~bx~+~4)}{(x^2~-~4)^2}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{y'~=~\dfrac{2x^3~-~8x~\pm~bx^2~\mp~4b~-~2x^3~\mp~2bx^2~-~8x)}{(x^2~-~4)^2}\qquad\Rightarrow}$

En  (0, -1)

$\bold{0~=~4b\qquad\Rightarrow\qquad b = 0}$

Entonces, la fórmula matemática que representa la función solución de la ecuación diferencial es:

$\bold{y~=~\dfrac{x^2~+~4}{x^2~-~4}}$