en un estudio biológico se encontró que el tamaño de un insecto se puede determinar mediante la ecuación: l = k ∙ (1 - e-0,02t) donde: l = longitud en centímetros k = constante de crecimiento t = tiempo de vida en días si un insecto en 10 días mide 0,2 cm, ¿cuántos días tendrá otro insecto que mide 0,4 cm? seleccione una:
Respuestas
Respuesta dada por:
21
Primero debemos saber cual es el valor de la constante K en la ecuacion
![L=k*(1- e^{-0.02t}) L=k*(1- e^{-0.02t})](https://tex.z-dn.net/?f=L%3Dk%2A%281-+e%5E%7B-0.02t%7D%29+)
Para ello tenemos los sgtes datos
L = 0.2
t = 10
Reemplazamos
![0.2=k*(1-e^{-0.02(10)})
\\ 0.2 = k*(1-e^{-0.2}) \\
\\ Para \ que \ no \ quede \ exponete \ negativo \ invertimos \ el \ numero
\\ \\
0.2 = k *(1- \frac{1}{e^{0.2}})
\\0.2 = k - \frac{1}{e^{0.2}}k
\\ \\k - \frac{1}{e^{0.2}}k=0.2
\\ \\ sacamos \ minimo \ comun \ multiplo
\\ \\
\frac{e^{0.2}k-k}{e^{0.2}} = 0.2
\\\\ lo \ que \ esta \ dividiendo\ pasa\ a\ multiplicar
\\\\ e^{0.2}k-k=0.2e^{0.2}
\\\\ factor\ comun
\\\\ k(e^{0.2}-1)=0.2e^{0.2}
\\\\ k = \frac{0.2e^{0.2}}{e^{0.2}-1}
0.2=k*(1-e^{-0.02(10)})
\\ 0.2 = k*(1-e^{-0.2}) \\
\\ Para \ que \ no \ quede \ exponete \ negativo \ invertimos \ el \ numero
\\ \\
0.2 = k *(1- \frac{1}{e^{0.2}})
\\0.2 = k - \frac{1}{e^{0.2}}k
\\ \\k - \frac{1}{e^{0.2}}k=0.2
\\ \\ sacamos \ minimo \ comun \ multiplo
\\ \\
\frac{e^{0.2}k-k}{e^{0.2}} = 0.2
\\\\ lo \ que \ esta \ dividiendo\ pasa\ a\ multiplicar
\\\\ e^{0.2}k-k=0.2e^{0.2}
\\\\ factor\ comun
\\\\ k(e^{0.2}-1)=0.2e^{0.2}
\\\\ k = \frac{0.2e^{0.2}}{e^{0.2}-1}](https://tex.z-dn.net/?f=0.2%3Dk%2A%281-e%5E%7B-0.02%2810%29%7D%29+%0A+%5C%5C+0.2+%3D+k%2A%281-e%5E%7B-0.2%7D%29++%5C%5C%0A%5C%5C+Para+%5C+que+%5C+no+%5C+quede+%5C+exponete+%5C+negativo+%5C+invertimos+%5C+el+%5C+numero+%0A%5C%5C+%5C%5C%0A0.2+%3D+k+%2A%281-+%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B0.2%7D%7D%29%0A%5C%5C0.2++%3D+k+-++%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B0.2%7D%7Dk%0A%5C%5C+%5C%5Ck+-++%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B0.2%7D%7Dk%3D0.2%0A%5C%5C+%5C%5C+sacamos+%5C+minimo+%5C+comun++%5C+multiplo%0A%5C%5C+%5C%5C%0A+%5Cfrac%7Be%5E%7B0.2%7Dk-k%7D%7Be%5E%7B0.2%7D%7D++%3D+0.2%0A%5C%5C%5C%5C+lo+%5C+que+%5C+esta+%5C+dividiendo%5C+pasa%5C+a%5C+multiplicar%0A%5C%5C%5C%5C+e%5E%7B0.2%7Dk-k%3D0.2e%5E%7B0.2%7D%0A%5C%5C%5C%5C+factor%5C+comun%0A%5C%5C%5C%5C+k%28e%5E%7B0.2%7D-1%29%3D0.2e%5E%7B0.2%7D%0A%5C%5C%5C%5C+k+%3D++%5Cfrac%7B0.2e%5E%7B0.2%7D%7D%7Be%5E%7B0.2%7D-1%7D%0A%0A+)
ahora debemos resolver lo que queda para eso el valor de e = 2.72
cuando tenemos numeros decimales como potencia debemos pasarlo a fraccion para que de esa manera podamos sacar raiz en este caso 0.2 seria 1/5
por lo que nos queda
![2.72^ \frac{1}{5}
\\\\ que\ es \ lo \ mismo \ a \\
\\ \sqrt[5]{2.72} 2.72^ \frac{1}{5}
\\\\ que\ es \ lo \ mismo \ a \\
\\ \sqrt[5]{2.72}](https://tex.z-dn.net/?f=2.72%5E+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D++%0A%0A%5C%5C%5C%5C+que%5C+es+%5C+lo+%5C+mismo+%5C+a+%5C%5C%0A%5C%5C++%5Csqrt%5B5%5D%7B2.72%7D+++)
y la raiz quinta de 2.72 es 1.22
entonces ya tenemos que![e^{0.2}=1.22 e^{0.2}=1.22](https://tex.z-dn.net/?f=e%5E%7B0.2%7D%3D1.22)
ahora reemplazamos para hallar el valor de k
![k= \frac{0.2e^{0.2}}{e^{0.2}-1}
\\ \\ k = \frac{0.2(1.22)}{1.22-1}
\\ \\ k= \frac{0.244}{0.22}
\\\\k=1.10 k= \frac{0.2e^{0.2}}{e^{0.2}-1}
\\ \\ k = \frac{0.2(1.22)}{1.22-1}
\\ \\ k= \frac{0.244}{0.22}
\\\\k=1.10](https://tex.z-dn.net/?f=k%3D+%5Cfrac%7B0.2e%5E%7B0.2%7D%7D%7Be%5E%7B0.2%7D-1%7D+%0A%5C%5C+%5C%5C+k+%3D++%5Cfrac%7B0.2%281.22%29%7D%7B1.22-1%7D%0A%5C%5C+%5C%5C+k%3D++%5Cfrac%7B0.244%7D%7B0.22%7D++%0A%5C%5C%5C%5Ck%3D1.10)
Ahora que sabemos el valor de k podemos proceder a calcular la cantidad de dias del insecto de 0.4cm
L=0.4
t = ?
k = 1.10
Como ya habia dicho invertimos el numero de potencia negativa para que me quede uno de potencia positiva. Entonces:
![[tex]L = K *(1- \frac{1}{e^{0.02t}} )
\\ \\ 0.4=1.10*(1- \frac{1}{e^{0.02t}})
<br />\\\\ 1.10*(1- \frac{1}{e^{0.02t}}) = 0.4
\\\\1.10- \frac{1.10}{e^{0.02t}}=0.4
\\\\mcm
\\\\\frac{1.10e^{0.02t}-1.10}{e^{0.02t}} =0.4
\\\\1.10e^{0.02t}-1.10=0.4e^{0.02t}
[tex]L = K *(1- \frac{1}{e^{0.02t}} )
\\ \\ 0.4=1.10*(1- \frac{1}{e^{0.02t}})
<br />\\\\ 1.10*(1- \frac{1}{e^{0.02t}}) = 0.4
\\\\1.10- \frac{1.10}{e^{0.02t}}=0.4
\\\\mcm
\\\\\frac{1.10e^{0.02t}-1.10}{e^{0.02t}} =0.4
\\\\1.10e^{0.02t}-1.10=0.4e^{0.02t}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Btex%5DL+%3D+K+%2A%281-+%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B0.02t%7D%7D+%29+%0A%5C%5C+%5C%5C+0.4%3D1.10%2A%281-+%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B0.02t%7D%7D%29%0A%3Cbr+%2F%3E%5C%5C%5C%5C+1.10%2A%281-+%5Cfrac%7B1%7D%7Be%5E%7B0.02t%7D%7D%29+%3D+0.4%0A%5C%5C%5C%5C1.10-+%5Cfrac%7B1.10%7D%7Be%5E%7B0.02t%7D%7D%3D0.4%0A%5C%5C%5C%5Cmcm%0A%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B1.10e%5E%7B0.02t%7D-1.10%7D%7Be%5E%7B0.02t%7D%7D+%3D0.4%0A%5C%5C%5C%5C1.10e%5E%7B0.02t%7D-1.10%3D0.4e%5E%7B0.02t%7D%0A)
multiplicamos toda la operacion por 10 para trabajar con numeros enteros:
![(10) \ \ 1.10e^{0.02t}-1.10=0.4(e^{0.02t}) \\\\
11e^{0.02t}-11=4e^{0.02t}
\\\\11e^{0.02t}-4e^{0.02t}=11
\\\\ 7e^{0.02t} =11
\\\\ e^{0.02t}= \frac{11}{7}
(10) \ \ 1.10e^{0.02t}-1.10=0.4(e^{0.02t}) \\\\
11e^{0.02t}-11=4e^{0.02t}
\\\\11e^{0.02t}-4e^{0.02t}=11
\\\\ 7e^{0.02t} =11
\\\\ e^{0.02t}= \frac{11}{7}](https://tex.z-dn.net/?f=%2810%29+%5C+%5C+1.10e%5E%7B0.02t%7D-1.10%3D0.4%28e%5E%7B0.02t%7D%29+%5C%5C%5C%5C%0A11e%5E%7B0.02t%7D-11%3D4e%5E%7B0.02t%7D%0A%5C%5C%5C%5C11e%5E%7B0.02t%7D-4e%5E%7B0.02t%7D%3D11%0A%5C%5C%5C%5C+7e%5E%7B0.02t%7D+%3D11%0A%5C%5C%5C%5C+e%5E%7B0.02t%7D%3D+%5Cfrac%7B11%7D%7B7%7D+%0A%0A)
Ahora podemos aplicar logaritmo natural (In) en ambas partes para hallar el valor de t
![In(e^{0.02t})=In( \frac{11}{7} )
\\\\In(2.72^{0.02t})=In(1.58)
\\\\Aplicando \ la \ propiedad:
\\\\ log_a x^b=b\ log_ax
\\\\0.02t\ In(2.72)=In(1.58)
\\\\t= \frac{In(1.58)}{0.02\ In(2.72)}
\\\\ t= 22.6 In(e^{0.02t})=In( \frac{11}{7} )
\\\\In(2.72^{0.02t})=In(1.58)
\\\\Aplicando \ la \ propiedad:
\\\\ log_a x^b=b\ log_ax
\\\\0.02t\ In(2.72)=In(1.58)
\\\\t= \frac{In(1.58)}{0.02\ In(2.72)}
\\\\ t= 22.6](https://tex.z-dn.net/?f=In%28e%5E%7B0.02t%7D%29%3DIn%28+%5Cfrac%7B11%7D%7B7%7D+%29%0A%5C%5C%5C%5CIn%282.72%5E%7B0.02t%7D%29%3DIn%281.58%29%0A%5C%5C%5C%5CAplicando+%5C+la+%5C+propiedad%3A%0A%0A%5C%5C%5C%5C+log_a+x%5Eb%3Db%5C+log_ax%0A%5C%5C%5C%5C0.02t%5C+In%282.72%29%3DIn%281.58%29%0A%5C%5C%5C%5Ct%3D+%5Cfrac%7BIn%281.58%29%7D%7B0.02%5C+In%282.72%29%7D+%0A%5C%5C%5C%5C+t%3D+22.6)
Listo la respuesta (redondeada) es 22.6
Saludos
Para ello tenemos los sgtes datos
L = 0.2
t = 10
Reemplazamos
ahora debemos resolver lo que queda para eso el valor de e = 2.72
cuando tenemos numeros decimales como potencia debemos pasarlo a fraccion para que de esa manera podamos sacar raiz en este caso 0.2 seria 1/5
por lo que nos queda
y la raiz quinta de 2.72 es 1.22
entonces ya tenemos que
ahora reemplazamos para hallar el valor de k
Ahora que sabemos el valor de k podemos proceder a calcular la cantidad de dias del insecto de 0.4cm
L=0.4
t = ?
k = 1.10
Como ya habia dicho invertimos el numero de potencia negativa para que me quede uno de potencia positiva. Entonces:
multiplicamos toda la operacion por 10 para trabajar con numeros enteros:
Ahora podemos aplicar logaritmo natural (In) en ambas partes para hallar el valor de t
Listo la respuesta (redondeada) es 22.6
Saludos
Preguntas similares
hace 6 años
hace 6 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años
hace 9 años