Question

Un bombardero vuela horizontalmente a una altura de 320 m con una velocidad de
60m/s. ¿Con qué velocidad llegan a la superficie terrestre los proyectiles soldados desde este bombardero? (g=10m/s al cuadrado)
Ayuda por favor

Answer 1

La velocidad con la cual los proyectiles llegan a la superficie terrestre es de 100 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil sólo posee una velocidad horizontal: $\bold { V_{x} }$ , debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que: $\bold { V_{y} = 0 }$ , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende

Calculamos el tiempo de vuelo de los proyectiles

$\large\textsf{Por imposici\'on de enunciado: }$

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Consideramos la altura H desde donde se lanzaron los proyectiles: $\bold {H= 320 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\bold { V_{0y} = 0 }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 320 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 640 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{64 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 8 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo de los proyectiles es de 8 segundos, luego llegan a la superficie terrestre para ese instante de tiempo

Hallamos la velocidad con la cual los proyectiles llegan a la superficie terrestre

Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 8 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial horizontal

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =60 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 8 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-80 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad para el instante de tiempo en que los proyectiles llegan a la superficie terrestre se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(60 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-80\ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{3600\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +6400 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{10000\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 100 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la cual los proyectiles llegan a la superficie terrestre es de 100 metros por segundo (m/s)

Aunque el enunciado no lo pida

Determinamos el alcance máximo de los proyectiles es decir la trayectoria horizontal recorrida

Dado que en el eje X se tiene un MRU durante toda la trayectoria: para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por los proyectiles, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo. Donde la velocidad inicial horizontal es de: $\bold { V_{0x} = 60 \ \frac{m}{s} }$ y el tiempo de vuelo es de: $\bold { t_{v} = 8 \ s }$ -hallado previamente-

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed {\bold { d =60 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 8 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 480 \ metros}}$

El alcance horizontal $\bold { x_{MAX} }$ de los proyectiles es de 480 metros, siendo esta magnitud la distancia horizontal recorrida por estos

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una semiparábola