Question

Problema ¿Cuál teorema a usar?:
Un árbol que crece en una ladera proyecta una sombra de 102 pies sobre el plano de la colina. Encuentre
la altura vertical del árbol si, con respecto a la horizontal, la colina tiene una pendiente de 15º y el ángulo
de elevación del Sol es de 62º.

Answer 1

La altura h del árbol es de aproximadamente 159 pies

Se empleó el Teorema del Seno para la resolución del problema

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos: el SPQ, el SPR y el SRQ, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SPQ el lado SQ equivale a la distancia hasta la parte superior del árbol desde el pie de la ladera de la colina -la que se observa con un ángulo de elevación al sol de 62°-, el lado PQ representa la distancia desde el suelo hasta el extremo superior del árbol y el lado PS es el plano horizontal donde se asienta la base de la colina

Donde este triángulo rectángulo contiene a dos triángulos:

El SPR y el SRQ siendo el primero rectángulo y el segundo obtusángulo

Donde el triángulo rectángulo SPR representa a la ladera de la colina -donde se ubica el árbol- la cual tiene una pendiente o ángulo de inclinación de 15°-respecto a la horizontal- y donde conocemos la dimensión del lado SR la cual es la longitud de la sombra proyectada por el árbol - colina abajo- de 102 pies

Dado que lo que se pide hallar es la altura h del árbol y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ para la resolución del ejercicio

Donde para este triángulo SRQ conocemos el valor del lado SR que es la longitud de la sombra proyectada por el árbol -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo rectángulo SPR que representa a la ladera de la colina- con un valor de 102 pies y se tiene el lado SQ que es la distancia desde el pie de la colina en S hasta la cima del árbol. Y finalmente el lado QR que es la altura del árbol y nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SRQ

Hallamos el valor del ángulo interno en S al que denotamos como α

Restando del ángulo de elevación al sol de 62° el ángulo de inclinación de la colina de 15°:

Teniendo:

$\boxed {\bold { \alpha =62^o -15^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 47^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q al que denotamos como γ

El valor de este ángulo resulta ser el mismo que para el triángulo rectángulo SPQ

Consideramos luego un ángulo recto de 90° y el ángulo de elevación al sol de 62°

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 62^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 90^o- 62^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 28^o }}$

No siendo necesario para la resolución del ejercicio hallar el valor del tercer ángulo

Calculamos la altura h del árbol empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {QR} = h = Altura \ Del \ Arbol }$

$\bold{\overline {SR} =Sombra \ Del \ Arbol = 102 \ pies }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{QR} \ h}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SR} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR}\ h }{ sen(47 ^o ) } = \frac{ \overline{SR} }{sen(28^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR} \ h }{ sen(47 ^o ) } = \frac{ 102 \ pies }{sen(28^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 102 \ pies \ . \ sen(47^o ) }{sen(28^o) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 102 \ pies \ . \ 0.731353701619 }{ 0.469471562786 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 74.598077565138 }{ 0.469471562786}\ pies }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h \approx 158.8979 \ pies }}$

$\large\textsf{ Redondeando por exceso}$

$\large\boxed { \bold { \overline{QR}\ h \approx 159\ pies }}$

La altura h del árbol es de aproximadamente 159 pies

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas