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Respuesta:
∫ln(x^2+1)dx
Es la integral dada y la resolveré usando integración parcial ( por partes ).
1) Reescribo ln( x^2+1 ) a manera de producto.
ln(x^2+1) dx = ln(x^2+1)×1dx
2) Preparo para proceder a integrar por partes estableciendo u y dv :
u = ln(x^2+1) y dv = 1dx
3) Hallo el diferencial usando du = u' du
du = d/dx[ ln(x^2+1) ]du
du = (d/dx[ ln(x^2+1) ]×d/dx[ x^2+1 ] ) du
du = ( 1/(ln(x^2+1)×(d/dx)(x^2]+d/dx[1] ) du
du = (1/ln(x^2+1)×(2x+0))du
du = (1/ln(x^2+1)×2x)du
du = (2x/ln(x^2+1))du
4) Hallo v .
dv = 1dx
∫dv = ∫1dx
v = x
5) Reemplazo u = ln(x^2+1) y v = x , du =
du = (2x/ln(x^2+1))du y dv = 1dx en la fórmula ∫udv = uv-∫vdu :
ln(x^2+1)×x-∫(x×(1/x^2+1)×2x) du
6) Uso ∫a×f(x)dx = a×∫f(x)dx
ln(x^2+1)×x-1×2∫(x×(1/(x^2+1))×x du
ln(x^2+1)x-2∫ (x×(1/(x^2+1)x) du
ln(x^2+1)x-2∫(x^2)/(x^2+1)du ; x^2 = x^2+1-1
ln(x^2+1)x-2∫(x^2+1-1/(x^2+1))du
ln(x^2+1)x-2∫((x^2+1/x^2+1)-(1/x^2+1)) du
= ln(x^2+1)x-2(∫((x^2+1)/(x^2+1))du - ∫(1/(x^2+1))du)
= ln(x^2+1)x-2(∫1dx-∫1/(x^2+1)dx)
= ln(x^2+1)x-2(x-(∫1/((x)^2+(1)^2)dx)
= ln(x^2+1)x-2(x+((-1/1)×arctan(x/1))
= ln(x^2+1)x-2(x-arctan(x))
= ln(x^2+1)x-2x+2arctan(x)
= ln(x^2+1)x-2x+2arctan(x)+c
R// ln(x^2+1)-2x+2arctan(x)+c es la integral de ∫ ln( x^2+1 )dx
Espero ello te sea útil.
Saludos.
Explicación paso a paso: