Question

nesecito el 1 y el 12 porfavor

Answer 1

1) hallar x

$\dfrac{(5x^4+10x^2+1)(5a^4+10a^2+1)}{(x^4+10x^2+5)(a^4+10a^2+5)}=ax\\ \\ \textbf{Soluci\'on:}\\ \\ \left(\dfrac{5x^4+10x^2+1}{x^4+10x^2+5}\cdot \dfrac{1}{x}\right)\left(\dfrac{5a^4+10a^2+1}{a^4+10a^2+5}\cdot \dfrac{1}{a}\right)=1\\ \\ \\ \\ \texttt{Sea la funci\'on: } f(x)=\dfrac{5x^4+10x^2+1}{x^4+10x^2+5}\cdot \dfrac{1}{x}\\ \\ \\ \texttt{Notemos lo siguiente: }\\ \\ f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^4+10x^2+5}{5x^4+10x^2+1}\cdot x\\ \\ \\ f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{f(x)}$


$\texttt{Entonces retornemos a la ecuaci\'on: }\\ \\ \\ f(x)\cdot f(a)=1\\ \\ f(x)=\dfrac{1}{f(a)}\\ \\ \\ f(x)=f\left(\dfrac{1}{a}\right)\\ \\ \\ \texttt{Entonces una de las soluciones es: }\boxed{x=\dfrac{1}{a}}$

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12) 

a) El tren más cercano a la salida del peatón lo hace las 8am (el 12° tren). Además es imposible que lo alcance. Tampoco alcanza al tren 13° ya que este sale a las 8:10

b) Posicionado el peatón en el punto A y notando que el 14° tren y el 13° tren mantienen una distancia de 10 min es decir (10/6) km, la distancia entre el 14° tren y el peatón ubicado en A es...

               (10/6)km - (10 km/h)*(15-10 min) = (10/6) km - (5/6) km= (5/6)km

Entonces el n-ésimo tren dista en km del peatón:

                                   D = 10/6 (n - 14) + 5/6
                                   D = 5n/3 - 135/6

c) Note que el peatón tiene 2 horas para ir de A hasta B, ahora veamos si el n-ésimo tren lo alcanza en ese lapso de tiempo

$t_{encuentro}=\dfrac{D}{V_{tren}-V_{peat\'on}}\\ \\ \\ t_{encuentro}=\dfrac{\dfrac{5n}{3}-\dfrac{135}{6}}{10-4}\\ \\ \\ t_{encuentro}=\dfrac{\dfrac{5n}{3}-\dfrac{135}{6}}{6}\\ \\ \\ t_{encuentro}=\dfrac{5n}{18}-\dfrac{135}{36}\\ \\ \\ \texttt{Notemos que }t_{encuentro}\leq 2\text{ horas}\\ \\ \\ \dfrac{5n}{18}-\dfrac{135}{36}\leq 2\\ \\ \\ \dfrac{5n}{18}\leq \dfrac{207}{36}\\ \\ \\ n\leq\dfrac{207}{10}\\ \\ \\ n\leq 20.7\\ \\ \\ \texttt{Pero como }n\texttt{ es un n\'umero natural entonces:}\\ \\ \hspace*{3cm}n\in\{1,2,3,\cdots, 20\}$


Por ende el número de encuentros sería 20 - 14 + 1 = 7

Falta la otra vía...

d) Ahora con los trenes que van de B hacia A. En este caso si se encuentra con el 13° tren con 5 minutos avanzados sobre AB es decir (5/6)km

e) La distancia del n-ésimo tren al peatón en A sería

                                         D = (5/3)(n - 13) - 5/6
                                         D = 5n/3 - 45/2

f) El tiempo de encuentro no supera las 2 horas que recorre el peatón de A hacia B

$t_E\leq 2\\ \\ \dfrac{D}{V_{tren}+V_{peat\'on}}\leq 2\\ \\ \\ \dfrac{\dfrac{5n}{3}-\dfrac{45}{2}}{10+4}\leq 2\\ \\ \\ \dfrac{5n}{42}-\dfrac{45}{28}\leq 2\\ \\ \\ \dfrac{5n}{42}\leq \dfrac{101}{28}\\ \\ \\ n\leq \dfrac{303}{10}\\ \\ \\ n\leq 30.3\to n\in\{1,2,\cdots,30\}$

Entonces el número de encuentros es: 30 - 13 +1 = 18

Luego hay tres posibilidades como entiendo el problema
1) Que los dos trenes salgan de A hacia B y por ende el número de encuentros sería 2 x 7 = 14

2) Que una vía sea AB y la otra BA y por consiguiente el número de encuentros sea 7 + 18 = 25

3) [poco probable] que los trenes salgan BA y el número de encuentros sea 2 x 18 = 36

Lo más probable es que sea (1) es decir 14 encuentros.