encontrar el cociente y el residuo de dividir el polinomio 7x²+6x+X3+ entre cada uno de los siguientes binomios
Respuestas
Respuesta: Recordemos que al dividir un polinomio P(x) por otro F(x) obtenemos un cociente Q(x) y un residuo R(x) tales que
\displaystyle P(x) = F(x)Q(x) + R(x)
en donde el grado de R(x) es estrictamente menor al grado de F(x). Otra forma de escribir la división es:
\displaystyle \frac{P(x)}{F(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{F(x)}
El teorema del resto nos ayuda a determinar el residuo o resto R(x) al dividir P(x) por un polinomio de la forma F(x) = x - a. El teorema enuncia lo siguiente:
Teorema: Sea P(x) un polinomio. Entonces el residuo resultante al dividir P(x) entre F(x) = x - a es igual que el resultado de evaluar el polinomio P(x) en a. Es decir,
\displaystyle R(x) = P(a)
Ejemplo: Consideremos los polinomios P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 y F(x) = x - 3. Tenemos que
\displaystyle P(3) = 3^4 - 3\cdot 3^2 + 2 = 56
Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir P(x) entre F(x) debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio P(x) en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:
\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& & & & &\end{array}
Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de P(x)) debajo de la línea horizontal:
\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}
Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de P(x):
\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}
Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente (0 + 3 = 3) y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:
\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & 3 & & &\end{array}
Repetimos el procedimiento anterior. Multiplicamos el número que obtuvimos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado será 9); lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de P(x) y luego sumamos los números:
\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & & \\\hline& 1 & 3 & 6 & &\end{array}
Repetimos el procedimiento, ahora con el 6:
\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & \\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 &\end{array}
Finalmente, repetimos el procedimiento una vez más, pero ahora con el 18:
\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline \; 56\end{array}
De este último arreglo podemos ver que R(x) = 56, que era lo que esperábamos.
Nota: como podemos ver en el ejemplo anterior, el teorema del resto sólo nos dice el residuo que resulta al dividir por un polinomio. Si queremos encontrar el cociente Q(x) debemos realizar la división completa.
Nota: el teorema asume que estamos dividiendo por un polinomio de la forma F(x) = x - a. Si tenemos algún polinomio de la forma F(x) = x + a, entonces notemos que
\displaystyle F(x) = x + a = x - (-a)
Por tanto, para encontrar el residuo, simplemente evaluamos P(-a). En otras palabras, debemos evaluar en el término independiente de F(x) pero con signo cambiado.
Nota: Este teorema es muy importante, pues no permite saber si un polinomio es factor de P(x). Sabremos que x - a es factor de P(x) si P(a) = 0. Esto se conoce como teorema del factor.
Explicación paso a paso:
Respuesta:
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