Question

Dada la funcion, demuestra que x=0 es un punto estacionario de f(x) pero no es un maximo ni un minimo local.


$f(x) = \frac{6x^3}{x^4+x^2+2}$

Answer 1

Una función tiene un máximo o mínimo local en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda no nula.
Si la segunda es también nula, la función tiene un punto de inflexión con tangente horizontal. La recta tangente cruza la función en los puntos de inflexión.

Derivamos la función (lo hago directamente)

f '(x) = - 6 x² (x⁴ - x² - 6) / (x⁴ + x² + 2)² = 0

Es cero en x = 0;

Segunda derivada

f ''(x) = 12 x (x⁸ - 3 x⁶ - 24 x⁴ - 2 x² + 12) / (x⁴ + x² + 2)³

Se observa que la segunda derivada es nula también en x = 0

Se adjunta gráfico de la función.

Saludos Herminio