Question

un recipiente cerrado con forma de paralepipedo rectangular contiene 1 litro de agua. si el recipiente se apoya horizontalmente sobre tres caras distintas,el nivel de agua es de 2 cm, 4cm y 5cm. calcula el volumen del paralepipedo

Answer 1

1) Se apoya en la cara cuya área sea $A_1$. Del dato elegimos que la altura del agua sea 2 cm, entonces el volumen del agua se calcula asi:
 
                              $1L=1000\text{ cm}^3=A_1\times 2\text{ cm}\\ \\ A_1=500\text{ cm}^2$

De forma similar podemos obtener las áreas restantes

                             $A_2=\dfrac{1000}{4}\text{ cm}^2=250\text{ cm}^2\\ \\ \\ A_3=\dfrac{1000}{5}\text{ cm}^2=200\text{ cm}^2$

2) Sean $a,b\text{ y }c$ las dimensiones del paralelepípedo entonces tenemos lo siguiente:

                            $A_1=ab\\ A_2=bc\\ A_3=ac$

3) Sea V el volumen del paralelepípedo y note esto
 
                           $A_1\times A_2\times A_3=(abc)^2=V^2\\ \\ \\ V=\sqrt{A_1\times A_2\times A_3}\\ \\ \\ V=\sqrt{500\times 250\times 200}\\ \\ \\ V=10\sqrt{5\times 2.5\times 2}\\ \\ \\ V=10\sqrt{5\times 5}\\ \\ \\ \boxed{\boxed{V=50\text{ cm}^3}}$

Answer 2

Este problema es bastante más difícil de lo que parece, ya que normalmente las personas de la edad que participa en este tipo de concursos no conoce métodos algebraicos, así que deben trabajar por intuición, encontrando relaciones entre las diferentes longitudes sin más ayuda que la intuición.

Conocemos la altura según apoyemos el recipiente en uno u otro de sus lados, eso quiere decir que conocemos el área de sus lados, ya que un litro son 1000 centímetros cúbicos, y si alcanza 2 centímetros de altura, es porque el área de la cara sobre la que está apoyada es de 500 centímetros cuadrados, de la misma forma, las otras caras diferentes deben tener 250 centímetros cuadrados y 200 centímetros cuadrados.

A partir de ahí, se pueden intentar muchas estrategias para determinar el volumen del cuerpo. Una de ellas es tantear hasta dar con las tres longitudes del paralelepípedo, que salen 10, 20 y 25. Así que el volumen saldría 5 litros.

Otra estrategia consiste en pensar que, si conocemos el área de los laterales, que son rectángulos, es porque conocemos el producto de la altura por cada uno de los lados inferiores, y conocemos también el producto de los lados inferiores. Si multiplicamos estas dos áreas, 200 y 250 (da 50000) y dividimos entre la base (da 100), tendremos la altura al cuadrado, es decir, dicho de otra forma, la altura sobre la base de 500 es 10, por lo que su volumen total es 500*10 = 5000 centímetros cúbicos, es decir, 5 litros.

También multiplicando las tres áreas obtenemos el volumen al cuadrado, como podemos razonar, aunque es más difícil que se le ocurra a alguien sin ayuda del álgebra. Y probablemente habrá otras soluciones.tenemos que:
1 L = 1000mL
xy*2= 1000
yz*4=1000
xz*5=1000
Ahora multiplicando las tres ecuaciones que tenemos

x^2y^2z^2*40=10^9
x^2y^2z^2=2.5*10^8
xyz= 5000 mL
es decir la capacidad es de 5 L