Question

5(x-1)
_____ dx
x(x+1)2
integral ​

Answer 1

Respuesta:

$\int\ {\frac{5(x-1)}{x(x+1)^2} } \, dx=$$5*Ln(x+1)-5*Ln(x)-\frac{10}{x+1}+C$

Explicación paso a paso:

$\int\ {\frac{5(x-1)}{x(x+1)^2} } \, dx=5*\int\ {\frac{(x-1)}{x(x+1)^2} } \, dx$

Realizamos fracciones parciales

$\frac{(x-1)}{x(x+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x+1)^2} \\ \\\frac{(x-1)}{x(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B[x(x+1)]+C(x)}{x(x+1)^2}\\ \\x-1=A(x+1)^2+B[x(x+1)]+C(x)\\ x-1=A(x^2+2x+1)+B(x^2+x)+C(x)\\x-1=Ax^2+2Ax+A+Bx^2+Bx+Cx\\ x-1=(Ax^2+Bx^2)+(2Ax+Bx+Cx)+A\\x-1=(A+B)x^2+(2A+B+C)x+A$

Formamos el sistema de ecuaciones:

i) $A=-1$

ii) $2A+B+C=1$

iii) $A+B=0$

Al resolver este pequeño sistema de ecuaciones nos genera los siguientes valores:

$A=-1\\ B=1\\ C=2$

Nos devolvemos donde comenzamos las fracciones parciales sustituyendo los valores de A,B,C

$\frac{(x-1)}{x(x+1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x+1)^2}\\ \\\frac{(x-1)}{x(x+1)^2}=\frac{-1}{x}+\frac{1}{(x+1)}+\frac{2}{(x+1)^2}\\ \\\frac{(x-1)}{x(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)}-\frac{1}{x}$

Luego nos devolvemos al principio de todo:

$\int\ {\frac{5(x-1)}{x(x+1)^2} } \, dx=5*\int\ {\frac{(x-1)}{x(x+1)^2} } \, dx=5*\int\ {[\frac{2}{(x+1)^2} +\frac{1}{x+1} -\frac{1}{x} }] } \, dx$

$=5*[\int\ {\frac{2}{(x+1)^2} } \, dx+\int\ {\frac{1}{(x+1)} } \, dx-\int\ {\frac{1}{x} } \, dx]\\ \\ =5*[2*\int\ {\frac{1}{(x+1)^2} } \, dx+\int\ {\frac{1}{(x+1)} } \, dx-\int\ {\frac{1}{x} } \, dx]$

$=5*[2*\int\ {(x+1)^{-2}} \, dx+\int\ {\frac{1}{(x+1)} } \, dx-\int\ {\frac{1}{x} } \, dx]$

Ahora resolvemos cada integral:

$=5*[(-\frac{2}{x+1} +C_1)+(Ln(x+1)+C_2)-(Ln(x)+C_3)]$

Multiplicamos todo por el 5 que esta afuera:

$=5*Ln(x+1)-5*Ln(x)-\frac{10}{x+1}+5*C_1+5C_2-5*C_3$

Si  $5*C_1+5*C_2-5*C_3=C$ Entonces la integral quedaria:

$=5*Ln(x+1)-5*Ln(x)-\frac{10}{x+1}+C$