encuentra los cuatro primeros términos de la serie de Taylor centrada en x igual a cero de la función f de x = raíz cúbica de 1 + x
Respuestas
Respuesta:
En la representación (e incluso en la construcción) de funciones, desempeñan un papel especial-
mente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de su
estudio corresponden a la teoría de funciones de variable compleja más que a la teoría de funciones
de variable real, por lo que aquí damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes para
nuestros propósitos. Como referencia utilizamos [APOSTOL1].
Explicación:
converge si y solo si x ∈ [−1,1). Si x ∈ (−1,1), converge absolutamente.
c) La serie ∞
∑
n=1
xn
n2
converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1,1].
d) La serie ∞
∑
n=1
(−1)nx2n
n
converge si y solo si x ∈ [−1,1]. Si x ∈ (−1,1), converge absolutamente.
e) La serie ∞
∑
n=0
xn
n!
converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex).
f) La serie ∞
∑
n=0
n! xn
converge solamente para x = 0.
Lema 9.1.2. Si para algún r ∈ (0,+∞) la sucesión (anrn) está acotada, entonces para cada x ∈ R tal
que |x−c| < r la serie
∞
∑
n=0
an(x−c)
n es absolutamente convergente.
Demostración. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga |anrn| ≤ M. Entonces
0 ≤ |an(x−c)
n
| = |an|r
n
!|x−c|
r
"n
≤ M
!|x−c|
r
"n
y como la serie geométrica ∞
∑
n=0
!|x−c|
r
"n
converge, se deduce que la serie
∞
∑
n=0
|an(x−c)
n
| también converge.
Definición 9.1.3. Dada una serie de potencias
∞
∑
n=0
an(x −c)
n
, su radio de convergencia es el valor
(finito o infinito) dado por
R = sup{|x−c| :
∞
∑
n=0
an(x−c)
n converge}.
Si R > 0, el intervalo (c−R,c+R) se denomina intervalo de convergencia de la serie de potencias.
ojalá te ayude me costo media hora escribir eso xdd