Respuestas
SIN SIGNOS DE AGRUPACIÓN.
Es una expresión en la cual se combinan numeros racionales con varias operaciones aritméticas.
Se soluciona realizando las diferentes operaciones en el siguiente orden:
1. Se resuelven potencias y raices.
2. Se realizan multiplicaciones y divisiones.
3. Se solucionan adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Grado de un polinomio
Artículo principal: Grado (polinomio)
Se define el grado de un monomio como el exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado, y se denota por {\displaystyle {\text{gr}}(p)}{\displaystyle {\text{gr}}(p)}.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x, polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
P(x) = 4x4+ 4x + 2, polinomio de grado cuatro.
P(x) = 2x5+ 3x + 1, polinomio de grado cinco.
Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como {\displaystyle \scriptstyle -\infty }{\displaystyle \scriptstyle -\infty }.
En particular los números son polinomios de grado cero.
Polinomio cero
Es el 0, tiene grado –1. Actúa de elemento neutro aditivo: p(x) +0= p(x), para cualquier p(x).
Polinomio de grado cero
Es aquel que no lleva la indeterminada. Son los elementos no nulos de conjuntos numéricos correspondientes.
Operaciones con polinomios
Artículo principal: Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.
Ejemplo
Sean los polinomios: {\displaystyle P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)}{\displaystyle P(x)=(2x_{}^{3}+4x+1)} y {\displaystyle Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)}{\displaystyle Q(x)_{}^{}=(5x^{2}+3)}, entonces el producto es:
{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=} {\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=} {\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=}{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2})+(2x^{3}+4x+1)(3)=} {\displaystyle (10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2})+(6x^{3}+12x+3)=}{\displaystyle (10x_{}^{5}+20x^{3}+5x^{2})+(6x^{3}+12x+3)=} {\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}
Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=} {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=}{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=} {\displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=}{\displaystyle P(x)Q(x)_{}^{}=} {\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=}{\displaystyle (2x_{}^{3}+4x+1)(5x^{2}+3)=} {\displaystyle (1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=}{\displaystyle (1\cdot 3)x_{}^{0}+(4\cdot 3)x^{1}+(1\cdot 5)x^{2}+(4\cdot 5+2\cdot 3)x^{3}+(0)x^{4}+(5\cdot 2)x^{5}=} {\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}{\displaystyle 10x_{}^{5}+26x^{3}+5x^{2}+12x+3}
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios {\displaystyle \scriptstyle P(X)}{\displaystyle \scriptstyle P(X)} y {\displaystyle \scriptstyle Q(X)}{\displaystyle \scriptstyle Q(X)} y el polinomio producto {\displaystyle \scriptstyle P(X)Q(X)}{\displaystyle \scriptstyle P(X)Q(X)}:
Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que {\displaystyle \scriptstyle {\mbox{gr}}(0)=-\infty }{\displaystyle \scriptstyle {\mbox{gr}}(0)=-\infty } (junto con la operación {\displaystyle \forall p:-\infty +p=-\infty }{\displaystyle \forall p:-\infty +p=-\infty }) por lo que la expresión puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo