considera la siguiente sucesión numérica: 2,7,12,17,22....
a)¿Que tienen en común los números de una sucesión?
b)si se continúa la lista,¿Se escribiría el 77 como parte de ella?
∆ ¿Por qué?
c)¿El número 322 forma parte de esta lista?
∆¿Por qué?
Respuestas
Respuesta:
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una progresión aritmética es una sucesión numérica, en la que cada término se obtiene sumando el anterior por una cantidad, llamada diferencia o razón.
Término enésimo
La fórmula para hallar cualquier término de una progresión aritmética es:
\Large{\boxed{\mathsf{a_{n} = a_{1} + d(n - 1)}}}an=a1+d(n−1)
Donde:
\mathbf{a_{n}}an es el término a hallar
\mathbf{a_{1}}a1 es el primer término
d es la diferencia (también llamada razón)
n es el número de términos
En este ejercicio, nos presentan la siguiente progresión aritmética:
\Large{\texttt{5, 11, 17, 23, ...}}5, 11, 17, 23, ...
¿Qué tienen en común los números de la sucesión?
Que los términos de la sucesión aumentan de 6 en 6.
¿Cuál sería la expresión algebraica para obtener los números de las sucesiones?
Para hallar la expresión algebraica, reconozcamos los datos:
\mathbf{a_{1}}a1 = 5
d = 6 (porque la serie va de 6 en 6)
Reemplazamos en la fórmula y resolvemos:
\mathsf{a_{n} = a_{1} + d(n - 1)}an=a1+d(n−1)
\mathsf{a_{n} = 5 + 6(n - 1)}an=5+6(n−1)
\mathsf{a_{n} = 5 + 6n - 6}an=5+6n−6
\boxed{\mathsf{a_{n} = 6n - 1}}an=6n−1
La expresión que permite calcular cualquier número en la sucesión es:
aₙ = 6n - 1
¿En qué lugar de la sucesión se encuentra el número 119?
Si queremos hallar en qué lugar se encuentra 119, entonces aₙ = 119.
Reemplazamos en la expresión:
\mathsf{a_{n} = 6n - 1}an=6n−1
\mathsf{119 = 6n - 1}119=6n−1
\mathsf{119 + 1 = 6n}119+1=6n
\mathsf{120= 6n}120=6n
\mathsf{120 \div 6 = n}120÷6=n
\boxed{\mathsf{n = 20}}n=20
Es decir, si completamos la sucesión hasta el número 119, habrán 20 términos. Por ende, 119 será el último término de esa serie, y estará en el último lugar: 20.
➢ El número 119 se encuentra en el lugar 20.
¿En la sucesión se encuentra el número 210? ¿En qué posición?
Recordemos que n ∈ ℕ, es decir, el número de términos es un número entero positivo.
Así que, si empleamos la fórmula y el resultado de "n" es un decimal, quiere decir que el número no pertenece a la sucesión.
Entonces, reemplazamos los datos:
\mathsf{a_{n} = 6n - 1}an=6n−1
\mathsf{210 = 6n - 1}210=6n−1
\mathsf{210 + 1 = 6n}210+1=6n
\mathsf{211 = 6n}211=6n
\mathsf{211 \div 6 = n}211÷6=n
\boxed{\mathsf{n = 35,16666...}}n=35,16666...
n ∉ ℕ, entonces 210 no se encuentra en la sucesión.
➢ 210 no se encuentra en la sucesión.