un vitral esta compuesto por un rectangulo y un semicirculo de radio r. si el perimetro del vitral debe ser 400cm, encuentras las dimensiones del vitral de mayor area
Respuestas
Respuesta dada por:
5
Se trata de una figura compuesta por un semicírculo de radio r adosado a un rectángulo de lado 2r y el otro lado desconocido, x.
El perímetro de esa figura será la semicircunferencia más tres lados del rectángulo (uno de lado 2r y los otros dos x).
Semicircunferencia: πr
Rectángulo: 2r + 2x
Perímetro: 400 = πr + 2r + 2x. De allí puedes despejar el lado x:
x = 200 - (π/2) r - r Expresion (1)
El área de la figura será el área del semicírculo + el área del rectángulo:
Area = π(r^2) / 2 + 2rx
Sustituyendo el valor de x por la expresión (1):
Area = π(r^2) /2 + 2r[200 - πr/2 - r] = π(r^2)/2 + 400r - πr^2 - 2r^2
El área máxima se halla derivando e igualando a cero:
d [area] / dr = 0 = πr + 400 - 2πr -4r = 400 - πr - 4r
=> r = 400 /(π + 4) = 56
Ahora puedes hallar x, el lado desconocido del rectángulo:
x = 200 - π*56/2 - 56 = 56.
Respuesta: el vitral tendrá un semicírculo de radio 56cm y un rectángulo de lados 56cm y 112cm.
El perímetro de esa figura será la semicircunferencia más tres lados del rectángulo (uno de lado 2r y los otros dos x).
Semicircunferencia: πr
Rectángulo: 2r + 2x
Perímetro: 400 = πr + 2r + 2x. De allí puedes despejar el lado x:
x = 200 - (π/2) r - r Expresion (1)
El área de la figura será el área del semicírculo + el área del rectángulo:
Area = π(r^2) / 2 + 2rx
Sustituyendo el valor de x por la expresión (1):
Area = π(r^2) /2 + 2r[200 - πr/2 - r] = π(r^2)/2 + 400r - πr^2 - 2r^2
El área máxima se halla derivando e igualando a cero:
d [area] / dr = 0 = πr + 400 - 2πr -4r = 400 - πr - 4r
=> r = 400 /(π + 4) = 56
Ahora puedes hallar x, el lado desconocido del rectángulo:
x = 200 - π*56/2 - 56 = 56.
Respuesta: el vitral tendrá un semicírculo de radio 56cm y un rectángulo de lados 56cm y 112cm.
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