Question

1.2
2. Resuelve el triángulo que tiene las siguientes características:
a=?
b=19 cm
c=15 cm
A=69°
B=?
c=?​

Answer 1

El lado a mide 19.54 centímetros, y los ángulos B y C tienen un valor respectivamente de 65.21° y 45.79°

 

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno y luego el teorema del seno

Solución

El teorema del coseno también llamado ley de cosenos relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Como conocemos el valor de dos lados y del ángulo comprendido entre ellos, hallamos el lado faltante empleando la ley del coseno

Hallamos el valor del lado a

El cual es el lado faltante del triángulo

Denotamos al ángulo A de 69° como α

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { a^{2} =( 15 \ cm)^{2} + (19 \ cm)^{2} - 2 \ . \ 15 \ cm \ . \ 19 \ cm \ . \ cos(69^o ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 225 \ cm^{2} + 361 \ cm^{2} - 570 \ cm^{2} \ . \ cos(69^o ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 586 \ cm^{2} - 570 \ cm^{2} \ . \ cos(69^o ) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 586 \ cm^{2} - 570 \ cm^{2} \ . \ 0.3583679495453 }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 586 \ cm^{2} - 204.26973124 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold {a^{2} =381.73026876 \ cm^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ a ^{2} } = \sqrt{381.73026876 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold {a = \sqrt{ 381.73026876 \ cm^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a \approx 19.53791874\ cm}}$

$\large\boxed {\bold { a \approx 19.54\ cm}}$

El valor del lado a del triángulo es de 19.54 centímetros

Aplicamos el teorema del seno para determinar el valor de los ángulos internos faltantes del triángulo

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Donde ahora tenemos la primera situación dado que conocemos dos lados y un ángulo interno opuesto a uno de esos lados

Determinamos el valor del ángulo B del triángulo

Denotamos al ángulo B como β

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(69 ^o ) } = \frac{ 19 \ cm }{sen(\beta ) } }}$

El valor del lado a lo hallamos en el paso anterior, donde tomaremos para "a" una mayor cantidad de decimales con el objeto de hallar un ángulo interno más exacto

Luego

$\bold {a = 19.53791874 \ cm}$

$\boxed { \bold { \frac{19.53791874 \ cm }{ sen(69 ^o ) } = \frac{ 19 \ cm }{sen(\beta ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 19\not cm \ . \ sen(69 ^o ) }{19.53791874 \not cm } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 19\ . \ 09335804264972 }{ 19.537391874 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) = \frac{ 17.738028103446 }{ 19.53791874 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta ) =0.9078770538 }}$

Aplicamos la inversa del seno

$\boxed { \bold { \beta =arcsen(0.9078770538) }}$

$\boxed { \bold { \beta =65.2136^o }}$

$\large\boxed { \bold { \beta =65.21^o }}$

El valor del ángulo B (β) es de 65.21°

Hallamos el valor del ángulo C al

Denotamos al ángulo C como γ  

Por enunciado sabemos el valor de uno de los ángulos del triángulo y hemos hallado el segundo Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 69^o+65.21^o +\gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o- 69^o - 65.21^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 45.79^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 45.79°

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas