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Tienes que dominar las reglas de operaciones con potencias y radicales.
Para verlo más claro resolveré el primer cociente por una parte y el segundo por otra.
En ese primer cociente, conviertes los radicales en potencias de exponente fraccionario y como las bases (los radicandos) son iguales, se suman las fracciones que están como exponentes. (1/2)+(1/3)
Queda un único término como numerador que será 5 elevado a (5/6) y todo ello elevado a (-1) lo cual se resuelve invirtiendo los términos de la fracción por la regla de los exponentes negativos quedando finalmente 5 elevado a 2 dividido por 5 elevado a (5/6)
Después se restan los exponentes del numerador y denominador (2 - 5/6) ya que las bases siguen siendo iguales y se nos queda 5 elevado a 7/6
![( \frac{ \sqrt{5} * \sqrt[3]{5} }{5^2}) ^{-1}=( \frac{ 5^{1/2} * 5^{1/3} }{5^2}) ^{-1}= (\frac{ 5^{5/6} }{5^2})^{-1} = \frac{{5^2}}{5^{5/6}} =5^{(7/6)} ( \frac{ \sqrt{5} * \sqrt[3]{5} }{5^2}) ^{-1}=( \frac{ 5^{1/2} * 5^{1/3} }{5^2}) ^{-1}= (\frac{ 5^{5/6} }{5^2})^{-1} = \frac{{5^2}}{5^{5/6}} =5^{(7/6)}](https://tex.z-dn.net/?f=%28+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B5%7D+%2A+%5Csqrt%5B3%5D%7B5%7D+%7D%7B5%5E2%7D%29+%5E%7B-1%7D%3D%28+%5Cfrac%7B+5%5E%7B1%2F2%7D++%2A++5%5E%7B1%2F3%7D++%7D%7B5%5E2%7D%29+%5E%7B-1%7D%3D+%28%5Cfrac%7B+5%5E%7B5%2F6%7D+%7D%7B5%5E2%7D%29%5E%7B-1%7D+%3D+%5Cfrac%7B%7B5%5E2%7D%7D%7B5%5E%7B5%2F6%7D%7D++%3D5%5E%7B%287%2F6%29%7D+)
Eso por un lado, ahora voy con la otra parte.
Hago lo mismo. Convierto los radicales a potencias de exponente fraccionario.
En el numerador sumo los exponentes... 1/2 + (-1/2) = 0 quedando 5 elevado a 0 y toda potencia elevada a 0 sabemos que es igual a 1
Subo el denominador al numerador invirtiendo el signo de su exponente y quedando como única expresión 5 elevado a (-1/4)
![\frac{ \sqrt{ 5^{-1} }* \sqrt{5} }{ \sqrt[4]{5} } = \frac{ 5^{-1/2}* 5^{1/2} }{ 5^{1/4} }= \frac{5^0}{5^{1/4}} = \frac{1}{5^{1/4}} = 5^{-1/4} \frac{ \sqrt{ 5^{-1} }* \sqrt{5} }{ \sqrt[4]{5} } = \frac{ 5^{-1/2}* 5^{1/2} }{ 5^{1/4} }= \frac{5^0}{5^{1/4}} = \frac{1}{5^{1/4}} = 5^{-1/4}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B+5%5E%7B-1%7D+%7D%2A+%5Csqrt%7B5%7D++%7D%7B+%5Csqrt%5B4%5D%7B5%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+5%5E%7B-1%2F2%7D%2A+5%5E%7B1%2F2%7D++%7D%7B+5%5E%7B1%2F4%7D+%7D%3D++%5Cfrac%7B5%5E0%7D%7B5%5E%7B1%2F4%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B5%5E%7B1%2F4%7D%7D+%3D+5%5E%7B-1%2F4%7D+)
Finalmente uno las dos partes y resuelvo:

Como ves me he acercado bastante a tu solución pero estoy repasando mis operaciones y no encuentro el fallo. En cualquier caso, ese es el procedimiento y lo que me interesa es que entiendas cómo se hace por encima de acertar el resultado exacto.
Saludos.
Para verlo más claro resolveré el primer cociente por una parte y el segundo por otra.
En ese primer cociente, conviertes los radicales en potencias de exponente fraccionario y como las bases (los radicandos) son iguales, se suman las fracciones que están como exponentes. (1/2)+(1/3)
Queda un único término como numerador que será 5 elevado a (5/6) y todo ello elevado a (-1) lo cual se resuelve invirtiendo los términos de la fracción por la regla de los exponentes negativos quedando finalmente 5 elevado a 2 dividido por 5 elevado a (5/6)
Después se restan los exponentes del numerador y denominador (2 - 5/6) ya que las bases siguen siendo iguales y se nos queda 5 elevado a 7/6
Eso por un lado, ahora voy con la otra parte.
Hago lo mismo. Convierto los radicales a potencias de exponente fraccionario.
En el numerador sumo los exponentes... 1/2 + (-1/2) = 0 quedando 5 elevado a 0 y toda potencia elevada a 0 sabemos que es igual a 1
Subo el denominador al numerador invirtiendo el signo de su exponente y quedando como única expresión 5 elevado a (-1/4)
Finalmente uno las dos partes y resuelvo:
Como ves me he acercado bastante a tu solución pero estoy repasando mis operaciones y no encuentro el fallo. En cualquier caso, ese es el procedimiento y lo que me interesa es que entiendas cómo se hace por encima de acertar el resultado exacto.
Saludos.
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