Question

El área de un triángulo es 10 u^2. Dos de sus vértices son los puntos: A(1 ; -2) y B(2 ;3), si el tercer vértice C, está sobre la recta: 2x y-2=0. Hallar las coordenadas de C.

Answer 1

Asumamos que las coordenadas del vértice C sea (x, 2 - 2x), para hallar el área del triángulo ABC en principio necesitaremos de los vectores

         $\vec v=A-C=(1,-2)-(x,2-2x)=(1-x,2x-4)\\ \vec w=B-C=(2,3)-(x,2-2x)=(2-x,2x+1)$

Entonces el área del triángulo es
  
          $S=\dfrac{1}{2}\left| \vec v \cdot \vec w^\bot\right|\\ \\ \texttt{Donde }\vec w^\bot=(-2x-1,2-x)\\ \\ \\ S=\dfrac{1}{2}|(1-x,2x-4)\cdot(-2x-1,2-x)|\\ \\ \\ S=\dfrac{|7x-9|}{2}\\ \\ \\ \dfrac{|7x-9|}{2}=10\\ \\ \\ |7x-9|=20\\ \\ 7x-9=\pm20\\ \\ 7x\in\{-11,29\}$

por ende
 
                       $x\in\left\{-\dfrac{11}{2},\dfrac{29}{2}\right\}$

Entonces hay dos posibles vértices C

                             $\boxed{C_1=\left(-\dfrac{11}{2},13\right)\;,\; C_2=\left(\dfrac{29}{2},-27\right)}$