Question

Considere la señal periódica de periodo N:
x[n]=1+2sen(2π/N n)+3 cos(2π/N n)
Hallar la expansión en Serie de Fourier, determine sus coeficientes y grafique.

Answer 1

Los coeficientes de la serie de Fourier son $d_0=1, d_1=3+j2$

Explicación:

La señal puede ser dividida en 3 señales separadas:

$x_1[n]=1\\x_2[n]=2sen(\frac{2\pi.n}{N})\\x_3[n]=3.cos(\frac{2\pi.n}{N})$

Y podemos hallar la serie de Fourier discreta para cada una de ellas, para la parte continua queda:

$a_{k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}x[n].e^{-j\frac{2\pi.n}{N}k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}.1.e^{-j\frac{2\pi.n}{N}k}\\\\a_{k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}cos(\frac{2\pi.n}{N}k)+j\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}(sen(\frac{2\pi.n}{N}k))$

De donde tenemos que la serie solo tiene el primer término y es $a_0=1$ ya que es $\sum^{N-1}_{n=0}cos(\frac{2\pi.n}{N}k)=0,\sum^{N-1}_{n=0}sen(\frac{2\pi.n}{N}k)=0$

Para el segundo término queda:

$b_{k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}x[n].e^{-j\frac{2\pi.n}{N}k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}.2.sen(\frac{2\pi.n}{N}).e^{-j\frac{2\pi.n}{N}k}\\\\b_{k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}2.sen(\frac{2\pi.n}{N}).cos(\frac{2\pi.n}{N}k)+j\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}(2.sen(\frac{2\pi.n}{N}).sen(\frac{2\pi.n}{N}k))$

Donde tenemos para cada término:

$k=1=>\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}2.sen(\frac{2\pi.n}{N}).cos(\frac{2\pi.n}{N})=0\\\\\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}2.sen(\frac{2\pi.n}{N}).sen(\frac{2\pi.n}{N})=\frac{2}{N}\sum^{N-1}_{n=0}sen^2(\frac{2\pi.n}{N})=2\\\\b_1=j2\\\\k\neq 1=>\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}2.sen(\frac{2\pi.n}{N}).cos(\frac{2\pi.n}{N}k)=0\\\\\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}2.sen(\frac{2\pi.n}{N}).sen(\frac{2\pi.n}{N}k)=0\\\\b_n=0$

Y para el tercer término queda:

$c_{k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}x[n].e^{-j\frac{2\pi.n}{N}k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}.3cos(\frac{2\pi.n}{N}).e^{-j\frac{2\pi.n}{N}k}\\\\c_{k}=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}3cos(\frac{2\pi.n}{N}).cos(\frac{2\pi.n}{N}k)+j\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}(3cos(\frac{2\pi.n}{N}).sen(\frac{2\pi.n}{N}k))$

Donde tenemos para cada término:

$k=1=>\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}3.cos(\frac{2\pi.n}{N}).cos(\frac{2\pi.n}{N})=\frac{3}{N}\sum^{N-1}_{n=0}cos^2(\frac{2\pi.n}{N})=3\\\\\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}3cos(\frac{2\pi.n}{N}).sen(\frac{2\pi.n}{N})=0\\\\c_1=3\\\\k\neq 1=>\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}3cos(\frac{2\pi.n}{N}).cos(\frac{2\pi.n}{N}k)=0\\\\\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}3cos(\frac{2\pi.n}{N}).sen(\frac{2\pi.n}{N}k)=0\\\\c_n=0$

Con lo cual los coeficientes reales de la función son $d_0=a_0=1, d_1=c_1=3$ y el coeficiente imaginario es $e_1=j2$, como estos dos últimos están en la misma frecuencia, podemos decir que los coeficientes complejos son $d_0=1, d_1=3+j2$, y la gráfica se muestra a continuación, considerando los ejes amplitud real, amplitud imaginaria y frecuencia: